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記事No.88402に関するスレッドです
★ (No Subject) / 有栖川
これの大問2の解説お願いします。
No.88402 - 2024/07/21(Sun) 11:13:02
☆ Re: / X
(1)
(i)
y=arctanxと条件から
tany=x (A)
両辺をxで微分すると
(dy/dx)/(cosy)^2=1 (A)'
ここで
1+(tany)^2=1/(cosy)^2
∴(A)を代入すると
1/(cosy)^2=1+x^2 (B)
(A)'(B)より
dy/dx=1/(1+x^2)
(ii)
問題の積分に部分積分を適用すると
(i)の結果により
∫ydx=xy-∫x(dy/dx)dx
=xy-∫{x/(1+x^2)}dx
=xarctanx-(1/2)log(1+x^2)+C
(Cは積分定数)
No.88404 - 2024/07/21(Sun) 16:57:45
☆ Re: / X
(2)
条件から
f(x)=∫[0→1]t|arctant-x|dt (C)
ここで(i)の結果により、arctantは
0≦t≦1において、単調増加
かつ
0≦arctant≦π/4＜1
よって
(I)0≦x＜π/4のとき
(C)から
f(x)=-∫[0→tanx]t(arctant-x)dt+∫[tanx→1]t(arctant-x)dt
=-∫[0→tanx]t(arctant)dt+(1/2)x(tanx)^2+∫[tanx→1]t(arctant)dt-(1/2)x{1-(tanx)^2}
=-∫[0→tanx]t(arctant)dt+∫[tanx→1]t(arctant)dt-(1/2)x+x(tanx)^2 (D)
∴f'(x)=-{2/(cosx)^2}xtanx-1/2+(tanx)^2+(2xtanx)/(cosx)^2
=(tanx)^2-1/2
∴f(x)はx=arctan(1/√2)のときに極小となり
(D)より
f(arctan(1/√2))=-∫[0→1/√2]t(arctant)dt+∫[1/√2→1]t(arctant)dt
=-[(1/2)(t^2)arctant][0→1/√2]+(1/2)∫[0→1/√2]{(t^2)/(1+t^2)}dt
+[(1/2)(t^2)arctant][1/√2→1]-(1/2)∫[1/√2→1]{(t^2)/(1+t^2)}dt
=-(1/4)arctan(1/√2)+(1/2)∫[0→1/√2]{1-1/(1+t^2)}dt
+π/8-(1/4)arctan(1/√2)-(1/2)∫[1/√2→1]{1-1/(1+t^2)}dt
=(1/2){1/√2-arctan(1/√2)}
+π/8-(1/2)arctan(1/√2)-(1/2){1-1/√2-π/4+arctan(1/√2)}
={1/√2-arctan(1/√2)}+π/8-(1/2)arctan(1/√2)-1/2+π/8
=1/√2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4-1/2
=(√2-1)/2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4

又、(D)より
f(0)=∫[0→1]t(arctant)dt
=[(1/2)(t^2)arctant][0→1]-(1/2)∫[0→1]{(t^2)/(1+t^2)}dt
=π/8-(1/2)∫[0→1]{1-1/(1+t^2)}dt
=π/8-(1/2)(1-arctan1) (∵)(1)(i)の結果
=π/4-1/2
(II)π/4≦x≦1のとき
(C)から
f(x)=-∫[0→1]t(arctant-x)dt=-∫[0→1]tarctantdt+x/2
=x/2-π/4+1/2 (∵)f(0)の値の計算過程から
∴f(x)は単調増加であり、又
f(π/4)=1/2-π/8
f(1)=1-π/4

(I)(II)から
f(1)-f(0)=3/2-π/2=(3-π)/2＜0
∴f(1)＜f(0)
以上から
f(x)の最大値はπ/4-1/2(このときx=0)
f(x)の最小値は(√2-1)/2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4(このときx=arctan(1/√2))

(途中で計算間違いがあるかもしれません。ありましたらごめんなさい。)
No.88405 - 2024/07/21(Sun) 17:19:11
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
> =-∫[0→tanx]t(arctant)dt+∫[tanx→1]t(arctant)dt-x(1-2tanx)(C)
>∴f'(x)=-{2/(cosx)^2}xtanx-x(1-2tanx)
ここの部分ですが
x(1-2tanx)はxで微分しなくて良いのでしょうか？
No.88412 - 2024/07/22(Mon) 10:29:58
☆ Re: / 有栖川
> ∫[0→tanx]t(arctant-x)dt
ここで-txを積分しますから-1/2 x(tanx)^2となりませんかね？
No.88413 - 2024/07/22(Mon) 10:35:48
☆ Re: / X
ごめんなさい。その通りですね。
No.88405を修正しましたので、再度ご覧下さい。
但し、修正前と比べて、極小値があまり綺麗な値に
なっていないので、まだ間違いがあるかもしれません。
No.88423 - 2024/07/22(Mon) 19:51:27
☆ Re: / 有栖川
二度も計算していただきありがとうございました！
同じ計算結果を得られました！
No.88425 - 2024/07/22(Mon) 22:06:57