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記事No.88430に関するスレッドです
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(No Subject)
/ 信濃川
引用
いや元々解き方が分かる積分問題を変形や置換積分しまくっていたらこの形になったんです。なのでπ/4であることは間違いないです。だから解き方に関しても変形した手順を逆に辿れば解けないことは無いんですけど、ありえない発想がいるので、もっと自然な発想で解けないかなと思って質問しました。
誰か上手いこと解いてくれませんかね〜？
No.88414 - 2024/07/22(Mon) 13:35:48
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Re:
/ らすかる
引用
新規スレッドでは元の質問とのつながりがわかりませんので、
「返信」から書き込んだ方が良いと思います。
No.88420 - 2024/07/22(Mon) 15:22:09
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Re:
/ IT
引用
「元々解き方が分かる積分問題」 と「ありえない発想」を示されないとお望みの回答は得にくいと思います。
No.88422 - 2024/07/22(Mon) 19:02:47
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Re:
/ 有栖川
引用
一応cos x = tan t/2 と置換すれば解けるようです。
https://artofproblemsolving.com/community/c7h3363329_hard_cos_integration
No.88430 - 2024/07/23(Tue) 10:50:36
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Re:
/ 有栖川
引用
有名積分の√tanx の積分を色々置換して行った結果得られた問題なのでしょうか。この人はガンマ関数を考えていますが、0からpi/2 までの√tan x の広義積分をしても多分得られると思います。
No.88432 - 2024/07/23(Tue) 11:27:40
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Re:
/ らすかる
引用
∫[0〜π/2]√(tant) dt はy=√(tant)をt=π/4に関して反転しy=tに関して反転して
∫[0〜π/2]√(tant) dt
=∫[0〜π/2]√(1/tant) dt
=∫[0〜∞]arctan(1/x^2) dx
=[xarctan(1/x^2)+log((x^2-(√2)x+1)/(x^2+(√2)x+1))/(2√2)
+(arctan(1+(√2)x)-arctan(1-(√2)x))/√2][0〜∞]
={0+0+(π/2-(-π/2))/√2}-{0+0+(π/4-π/4)/√2}
=π/√2
のように求める方法もありますね。
No.88434 - 2024/07/23(Tue) 12:52:12
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Re:
/ ポテトフライ
引用
最後まで計算を実行していないが留数定理を用いて以下のようにできる。（とても面倒で力尽きた
積分区間を[0,2π]にすると求める積分値の4倍になる。（適当な置換を行って容易に示せる
そこでI=∫[0,2π]√cosx/(1+cos^2x)dxに対してz=e^{ix}とおけば
√cosx/(1+cos^2x)dx=-2√2i * √(z^3+z)/(z^4+6z^2+1) dz
となり、これの極はz=±i(√2±1)（復号任意）で単位円周内部の極はz=±i(√2-1)なので、これらの留数を求めて留数定理に当てはめる。
おそらく計算を実行するとI=πになって、求める積分値はこれに1/4なのでπ/4ということなのだろう。
No.88446 - 2024/07/23(Tue) 23:42:46
