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記事No.88469に関するスレッドです
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複素数
/ Higasino
引用
京都大学過去問複素数の問題からです。何卒よろしくお願いいたします。以下問題
No.88469 - 2024/07/28(Sun) 05:16:24
☆
Re: 複素数
/ X
引用
条件から
α=(r^2)(cos2θ+isin2θ)
(但しr＞0,0≦θ＜π)
と置くことができるので
β^2=α
に代入すると
β^2=(r^2)(cos2θ+isin2θ) (A)
ここで
cos2θ+isin2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2+2icosθsinθ
=(cosθ+isinθ)^2
∴(A)は
β^2={r(cosθ+isinθ)}^2
これより
{β-r(cosθ+isinθ)}{β+r(cosθ+isinθ)}=0
∴β=±r(cosθ+isinθ)
となるので、問題の命題は成立します。
No.88470 - 2024/07/28(Sun) 08:29:55
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
(^^)
エック先生、こんにちは。ありがとうございます。ところでその方法ですと、
例えば− 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？
No.88473 - 2024/07/28(Sun) 08:49:32
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Re: 複素数
/ IT
引用
1998年文系後期の出題のようです。
（出題当時は分かりませんが）文系なので数３で習う「極形式」は使わない解法が想定されているのだと思いますが、数学的に正しくて循環論法になっていなければ「極形式」を使った解答も正解ですね。
cosθ+isinθ≠0も一言断っておいた方が良いですね。
なお、数３で習う「ド・モアブルの定理」を使えば途中計算不要ですね。
（京大後期にしては文系といえども簡単すぎる？）
No.88475 - 2024/07/28(Sun) 11:08:23
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Re: 複素数
/ IT
引用
失礼しました。数学Bに「複素数平面（ド・モアブルの定理含む）」があったようです。
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/old-cs/1322525.htm
https://inupri.web.fc2.com/katei.html
No.88476 - 2024/07/28(Sun) 11:47:30
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Re: 複素数
/ X
引用
＞＞例えば− 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？
No.88470の結果を使うという前提で
α=-15+8i
とすると
|α|=17
∴
r=√|α|=√17 (P)
cos2θ=-15/17 (Q)
sin2θ=8/17 (R)
(0≦θ＜π)
(Q)(R)をcosθ,sinθについての連立方程式として解きます。
(R)÷(Q)より
tan2θ=-8/15
2(tanθ)/{1-(tanθ)^2}=-8/15
4(tanθ)^2-15tanθ-4=0
(4tanθ+1)(tanθ-4)=0
ここで(Q)(R)より、θの値の範囲はさらに絞られて
π/4＜θ＜π/2 (S)
となることに注意すると、
1＜tanθ
∴tanθ=4 (T)
∴(cosθ)^2=1/{1+(tanθ)^2}
=1/17
∴(S)より
cosθ=1/√17
sinθ=4/√17
よって
β=±(1+4i)
つまり
β=1+4i,-1-4i
となります。
No.88484 - 2024/07/28(Sun) 20:48:11
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
^_^返信が遅くなり大変申し訳ありません。局形まだ習っておりませんので、代数的にアプローチしました。なにとぞご意見よろしくお願いいたします。
No.88498 - 2024/07/31(Wed) 08:21:05
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Re: 複素数
/ らすかる
引用
88498の解答は正しくないと思います。
p=0,q=-2の場合にどうなるか計算してみて下さい。
No.88502 - 2024/07/31(Wed) 11:59:30
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
^_^
ラスカル様、こんにちは。自分で答案を見直したところ、どこが間違っているのかわかりません。よかったらご指導願えませんでしょうか新たな追伸をいたしました。何卒よろしくお願いいたします。
No.88506 - 2024/07/31(Wed) 22:34:03
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
申し訳ございません。東案に間違いがございました。改めます。
ex1. x<0
ex2. y<0
は、除いてください
No.88509 - 2024/07/31(Wed) 23:31:07
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Re: 複素数
/ らすかる
引用
p=0,q=-2のとき
「結果として・・・」の行の式に代入すると
±(1/√2)(√2+i√2)=1+i,-1-i
になりますので、その行の式は正しくないですね。
No.88510 - 2024/07/31(Wed) 23:52:25
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
ラスカル様何度もすみません。答案が出来上がりました。自分の過ちもよくわかりました。不安不安ですのでご指導いただけると幸いです。以下当番です。
No.88512 - 2024/08/01(Thu) 09:53:07
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Re: 複素数
/ らすかる
引用
q/|q|とするとq=0の場合に使えませんが、
「q≠0」限定（つまり虚数限定）の公式とするならばそれで問題ないと思います。
No.88514 - 2024/08/01(Thu) 10:11:45
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
ご回答くださいました。皆皆様本当にありがとうございました。今度もまたよろしくお願いいたします。
No.88516 - 2024/08/01(Thu) 10:49:35
