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記事No.88472に関するスレッドです
★ 複素数 / Higasino
複素数からの出題です。よろしくお願いいたします。
No.88464 - 2024/07/28(Sun) 01:03:51
☆ Re: 複素数 / X
(1)
条件から
ω^2+ω+1=0 (A)
両辺にω-1をかけて
(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
∴ω^3=1 (A)'
∴ω^2=1/ω,ω=1/ω^2 (B)
∴(証明すべき等式の左辺)=(x+1)(x+1/ω^2)(x+1/ω)
=(x+1)(1+ωx){1+(ω^2)x}/ω^3
=(証明すべき等式の右辺)

(2)
(A)'(B)よりkを自然数として
(i)k=3kのとき
ω^n=1
(ii)n=3k-1のとき
ω^n=1/ω=ω^2
(ii)n=3k-2のとき
ω^n=1/ω^2=ω

(3)
条件から、方程式x^2+x+1=0の二つの解は、ω、ω^2
∴x^2+x+1=(x-ω)(x-ω^2) (C)

ここで
f(x)=(x+1)^n-x^n-1
と置くと
f(ω)=(ω+1)^n-ω^n-1
={(-1)^n}ω^(2n)-ω^n-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数
f(ω^2)=(ω^2+1)^n-ω^(2n)-1
={(-1)^n}ω^n-ω^(2n)-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数

更にnは3の倍数ではないので、(2)の結果より
ω^n=ω,ω^2
ですが、
(i)ω^n=ωのとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^2+ω+1
=0 (∵)(A)より
(ii)ω^n=ω^2のとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^4+ω^2+1
=ω^2+ω+1 (∵)(A)'より
=0 (∵)(A)より

(i)(ii)より
f(ω)=f(ω^2)=0
∴(C)と因数定理により、f(x)はx^2+x+1で割り切れます。
No.88466 - 2024/07/28(Sun) 03:42:14
☆ Re: 複素数 / Higasino
x様、早速のご回答ありがとうございます。1つ疑問があるのですが、(1の誘導は何に使うのでしょうか？よろしければ教えてください。私の答案は後ほどアップします。
No.88467 - 2024/07/28(Sun) 05:06:12
☆ Re: 複素数 / X
私の解答では(1)の結果自体は(2)(3)には使いませんでした。
No.88471 - 2024/07/28(Sun) 08:31:43
☆ Re: 複素数 / Higasino
^_^ 私の回答です。よかったらご意見ください。何卒よろしくお願いいたします。以下答案
No.88472 - 2024/07/28(Sun) 08:36:11
☆ Re: 複素数 / X
その別解でも問題ないと思います。
No.88486 - 2024/07/28(Sun) 20:56:52