コーシーリーマン関係式を使いそうだと思ったのですが、使っていくと式がめちゃくちゃになって詰んでしまいました、、、
宜しくお願いいたします。
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No.88477 - 2024/07/28(Sun) 14:40:17
| ☆ Re: 大学2年複素関数 / ast | | | F(z)=:U(x,y)+i⋅V(x,y) に関するコーシー・リーマンの式: ∂U/∂x=∂V/∂y かつ ∂U/∂y=-∂V/∂x ……(*) を問題の指示に従って既知であるとして, 一方, F(z)(=z⋅f(z))= (x+iy)(u+iv) = (xu-yv) + i(xv+yu) だから具体的に U=xu-yv および V=xv+yu = (e^(-x)cos(y)). とくに V(x,y) について
∂V/∂x = -cos(y)e^(-x) かつ ∂V/∂y = -e^(-x)sin(y),
したがって (*) を適用すれば U(x,y) に関し
∂U/∂y = e^(-x)cos(y), ∂U/∂x = -e^(-x)sin(y). ∴U = e^(-x)sin(y).
つまり, F(z) = e^(-x)sin(y)+ie^(-x)cos(y) = i⋅e^(-x)(cos(-y)+isin(-y)) = i⋅e^(-z), ∴f(z)=(i⋅e^(-z))/z.
# コーシー・リーマンの適用で滅茶苦茶になりそうな要素をとくに感じないが, なにがあったのだろう……???
## 強いて言うなら最後 x,y を使わず z の式にまとめられるかあたりはそういう要素はあるかもしれない
## (が, おそらくはべつに x,y を用いた表示のままでもそこまで咎められたりはしなさそうだしな……).
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No.88479 - 2024/07/28(Sun) 16:10:02 |
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