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記事No.88482に関するスレッドです
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大学2年複素関数
/ kawarisa
引用
度々質問すみません、、、
手がつけられなくて困ってます、、、
宜しくお願いいたします。
No.88482 - 2024/07/28(Sun) 17:05:14
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Re: 大学2年複素関数
/ ast
引用
# これはまったく回答ではないのだけれど.
WolframAlpha に投げてみたところ (直接的な結果はうまく返ってこなかったが), (1) π/(2a^2b), (2) π/(2b) になるような気がする.
No.88487 - 2024/07/29(Mon) 03:00:44
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Re: 大学2年複素関数
/ ポテトフライ
引用
f(x)=(x^2-a^2)^2+b^2*x^2=(x^2+A^2)^2+B^2
ただしA＝・・・,B=・・・（a,bの式）
と変形できるので
∫1/f(x)dx
=∫1/{(x^2+A^2+iB)(x^2+A^2-iB)}dx
=1/(2iB)∫{1/(x^2+A^2-iB)+1/(x^2+A^2+iB)}dx
=arctanを用いた原始関数（ちょっとごり押し気味
∫x^2/f(x)dxについても同様
とするのが簡単なんじゃないかと思います。
途中の不定積分などは適当な置換をすればいます。
※タイトルから察するに、本当は留数定理を用いて計算してほしいのだと思うが、a,bの大小に関する場合分けなどが煩雑なので、避けた。（途中までやった感じ、積分路もf(x)＝0となる点をうまく避けるように指定する必要があるので非常に面倒だと感じた。
※留数定理を用いた計算をしたい場合は、例えば
一松信 函数論入門（1957）
などを参照してみてください。複素関数論の一歩踏み込んだ書籍でないと、複雑な積分路に関する留数解析が載っていません。
No.88488 - 2024/07/29(Mon) 11:21:57
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Re: 大学2年複素関数
/ X
引用
横から失礼します。
(1)(2)を複素積分を使って計算してみましたので
アップしておきます。
極の複素平面上の配置をa,bの値に対して場合分けして
調べてみましたが、複素平面上の実軸に関して上側
にあるものの値は、変わらないようです。
(1)
ｆ(x)は偶関数ゆえ
∫[x:0→∞]dx/f(x)=(1/2)∫[x:-∞→∞]dx/f(x) (A)
ここでxの方程式
f(x)=0
を解くと
(x^2-ibx-a^2)(x^2+ibx-a^2)=0
∴x=ib±√(4a^2-b^2),-ib±√(4a^2-b^2) (B)
(B)において
(i)4a^2-b^2≧0のとき
複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。
(ii)4a^2-b^2＜0のとき
√(4a^2-b^2)=i√(b^2-4a^2)
∴複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
やはり
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。
ここで
C'={z|z=t,t:-r→r}
C"={z|z=re^(iθ),θ:0→π}
C=C'∪C"
(但し、rはr＞0なる定数)
なる経路C',C",Cに対し
∫[C]dz/f(z)=∫[C']dz/f(z)+∫[C"]dz/f(z)
を考えると、
r→∞のとき
|∫[C"]dz/f(z)|→0(証明は省略します)
∴∫[C"]dz/f(z)→0
∫[C']dz/f(z)→∫[x:-∞→∞]dx/f(x)
又、(i)(ii)より、Cの内部に含まれる1/f(z)の極は
z=ib±√(4a^2-b^2)
になります。
よって、z=uを1/f(z)における極として
z=uにおける留数を
Res[1/f(z)|z=u]
と書くことにすると、(A)と留数定理により
∫[x:0→∞]dx/f(x)
=(1/2)・2πi{Res[1/f(z)|z=ib+√(4a^2-b^2)]+Res[1/f(z)|z=ib-√(4a^2-b^2)]}
=πilim[z→ib+√(4a^2-b^2)]{z-{ib+√(4a^2-b^2)}}/f(z)
+πilim[z→ib-√(4a^2-b^2)]{z-{ib-√(4a^2-b^2)}}/f(z)
=πi/f'(ib+√(4a^2-b^2))+πi/f'(ib-√(4a^2-b^2))
ここで
f'(z)=2(z^2-a^2)・2z+2zb^2
=2z(2z^2-2a^2+b^2)
で
α=ib+√(4a^2-b^2)
β=ib-√(4a^2-b^2)
と置くと、α、βはxの二次方程式
x^2-ibx-a^2=0 (C)
の解ゆえ、解と係数の関係から
α+β=ib
αβ=-a^2
又(C)より
α^2=ibα+a^2
∴f'(α)=2α(2α^2-2a^2+b^2)
=2α(2ibα+b^2)
=2b(2iα^2+bα)
=2b(-bα+2ia^2)
同様に
f'(β)=2b(-bβ+2ia^2)
以上から
∫[x:0→∞]dx/f(x)=πi/{2b(-bα+2ia^2)}+πi/{2b(-bβ+2ia^2)}
=(πi/2b){-b(α+β)+4ia^2}/{-4a^4-2i(α+β)ba^2+αβb^2}
=(πi/2b){-ib^2+4ia^2}/{-4a^4+2(ab)^2-(ab)^2}
=(π/2b)(b^2-4a^2)/{-4a^4+(ab)^2}
=π/(2ba^2)
No.88495 - 2024/07/30(Tue) 19:06:21
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Re: 大学2年複素関数
/ X
引用
(2)
これは(1)の過程を使います。
g(z)=f(z)/z^2={z-(a^2)/z}^2+b^2
と置くと、(1)の過程と同様にして
∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx=πi/g'(α)+πi/g'(β)
ここで
g'(z)=2{z-(a^2)/z}{1+(a^2)/z^2}
=2(z^2-a^2)(z^2+a^2)/z^3
∴(1)と同様にして、次数落としでg'(α),g'(β)を求めると
g'(α)=2(ibα+a^2-a^2)(ibα+a^2+a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ibα(ibα+2a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ib(ibα+2a^2)/(ibα+a^2)
g'(β)=ib(ibβ+2a^2)/(ibβ+a^2)
∴∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx={π/(2b)}{(ibα+a^2)/(ibα+2a^2)+(ibβ+a^2)/(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{(ibα+a^2)(ibβ+2a^2)+(ibα+2a^2)(ibβ+a^2)}/{(ibα+2a^2)(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{-2αβb^2+3(α+β)iba^2+4a^4}/{-αβb^2+2(α+β)iba^2+4a^4}
={π/(2b)}{2(ab)^2-3(ab)^2+4a^4}/{(ab)^2-2(ab)^2+4a^4}
={π/(2b)}{-(ab)^2+4a^4}/{-(ab)^2+4a^4}
=π/(2b)
No.88497 - 2024/07/30(Tue) 19:39:37
