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記事No.88543に関するスレッドです
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複素数
/ Higasino
引用
複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。以下問題
No.88538 - 2024/08/05(Mon) 19:45:29
☆
Re: 複素数
/ X
引用
x^3+ax^2+bx+1=0 (A)
とします。
条件からα、α^2は複素共役(証明は省略します)ゆえ
|α|=|α^2| (B)
α・α^2=|α|^2 (C)
(A)より
|α|(|α|-1)=0
ここで(A)はx=0を解に持たないので
|α|=1
これを(C)に代入して、
α^3=1 (C)'
∴(α-1)(α^2+α+1)=0
αは虚数ゆえ
α^2+α+1=0 (D)
(D)にα^2をかけて(C)'を使うと
(α^2)^2+α^2+1=0 (E)
(D)(E)よりα、α^2はxの二次方程式
x^2+x+1=0
の解となるので、(A)の実数解をrとすると
x^3+ax^2+bx+1=(x-r)(x^2+x+1)
はxの恒等式。
これより
x^3+ax^2+bx+1=x^3+(1-r)x^2+(1-r)x-r
∴係数比較により
a=1-r (P)
b=1-r (Q)
1=-r (R)
(P)(Q)(R)をa,b,rについての連立方程式として解き
(a,b)=(2,2)
No.88541 - 2024/08/05(Mon) 20:52:03
☆
Re: 複素数
/ IT
引用
αは虚数ゆえ
α^2+α+1=0 (D)の後は、(A)の解と係数の関係を使うと少しスッキリ出来ると思います。
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x^3+ax^2+bx+1=0 (A)
（A)の実数解をrとする。
条件からα、α^2は複素共役ゆえ
|α|=|α^2| (B)またαα^2=αα~=|α|^2
|α|≠0なので|α|=1
よってα^3=1…(1)∴(α-1)(α^2+α+1)=0
αは虚数ゆえα^2+α+1=0 (D)
※この辺まではXさんと同じです。
(A)の解と係数の関係
r+α+α^2=-a…(2)
rα^3=-1…(3)
(1)(3)からr=-1
これを(2)に代入
-1+α+α^2=-a
これと(D)からa=2
-1が(A)の解なので-1+2-b+1=0∴b=2
No.88542 - 2024/08/05(Mon) 21:24:06
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Re: 複素数
/ Higasino
引用
答案が出来上がりました。時間を書かせてしまい申し訳ございません。答案に対してご指導いただけると幸いです。
No.88543 - 2024/08/07(Wed) 08:58:40
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Re: 複素数
/ X
引用
略解ということであれば、問題ないと思います。
No.88549 - 2024/08/07(Wed) 19:09:52
