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記事No.88594に関するスレッドです
★ 複素数第19日目　　4時方程式 / Higasino
複素数愛知大学過去問4次方程式

なにとぞよろしくお願いいたします

以下、問題
No.88592 - 2024/08/14(Wed) 04:55:36
☆ Re: 複素数第19日目　　4時方程式 / X
問題の4次方程式を(A)とします。
(1)
α=(1+i√3)/2
と置くと
α^2-α+1=0 (B)
α^3=-1 (C)
(C)により
f(α)=(a+1)α^2-(a+b)α+2a-b
=(a+1)(α^2-α+1)+(a+1-a-b)α+2a-b-(a+1)
これに(C)を代入して
f(α)=(1-b)α+a-b-1
αを元に戻して
f(α)=(1-b)/2+a-b-1+i{(1-b)/2}√3
ここで条件から
f(α)=0
∴複素数の相等の定義により
(1-b)/2+a-b-1=0 (D)
{(1-b)/2}√3=0 (E)
(D)(E)を連立で解いて
(a,b)=(2,1)

(2)
(1)の結果により (A)は
f(x)=2x^4-4x^3+3x^2-x-1=0
これより
2(x^2-x+1)x^2-2x^3+x^2-x-1=0
2(x^2-x+1)x^2-2(x^2-x+1)x-x^2+x-1=0
(2x^2-2x-1)(x^2-x+1)=0
∴(B)より、残りの解について
2x^2-2x-1=0
これを解いて、残りの解は
x=(1±√3)/2
No.88593 - 2024/08/14(Wed) 09:36:17
☆ Re: 複素数第19日目　　4時方程式 / Higasino
x先生、こんにちは
ご回答ありがとうございます
(2 =因数分解で解かれたのですね
感動いたしました
私も考え方がまとまりましたので、アップさせていただきます。ご指導アドバイスいただけると幸いです。
No.88594 - 2024/08/14(Wed) 11:11:21
☆ Re: 複素数第19日目　　4時方程式 / X
問題ないと思います。
No.88596 - 2024/08/14(Wed) 15:48:33