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記事No.88623に関するスレッドです
★
複素数21日目
/ Higasino
引用
複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。
以下問題
No.88606 - 2024/08/17(Sat) 16:37:05
☆
Re: 複素数21日目
/ X
引用
zの共役複素数を\zと書くことにします。
(1)
(与式)=wとすると
\w=-w
∴w+\w=0
(2)
(与式)=wとすると
\w=-w
∴w+\w=0
(3)
(与式)=wとすると
\w=w
∴w-\w=0
以上より
(i)z=0かつα、βのいずれかが0のとき
実数は(1)(2)(3)
(ii)z≠0かつα、βのいずれかが0のとき
純虚数は(1)
実数は(2)(3)
(iii)z=0かつαβ≠0のとき
純虚数は(2)
実数は(1)(3)
(iv)zαβ≠0のとき
純虚数は(1)(2)
実数は(3)
No.88608 - 2024/08/17(Sat) 20:03:13
☆
Re: 複素数21日目
/ IT
引用
z,α,βの値にもよるのでは？
No.88609 - 2024/08/17(Sat) 20:16:51
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Re: 複素数21日目
/ X
引用
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higasinoさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.88608を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.88610 - 2024/08/17(Sat) 20:18:41
☆
Re: 複素数21日目
/ Higashino
引用
x先生、いつもありがとうございます
途中過程をいただけると幸いです
(3だけでも結構です
実数条件になる過程を教えてください
成田卒よろしくお願いいたします
No.88611 - 2024/08/17(Sat) 20:19:42
☆
Re: 複素数21日目
/ IT
引用
xさん
例えば
z＝１のとき(1)は、純虚数ではないのでは？
α＝βのとき(2)は、純虚数ではないのでは？
（0を実数かつ純虚数とする定義もあるようですが、）
No.88612 - 2024/08/17(Sat) 20:24:54
☆
Re: 複素数21日目
/ Higashino
引用
IT 先生へ
今、議論になっていることですが
私の見解です
ご意見いただけると幸いです
No.88613 - 2024/08/17(Sat) 22:47:22
☆
Re: 複素数21日目
/ X
引用
No.88608の修正箇所が多すぎるので、改めて回答をアップしておきます。
以下、例えば\zはzの共役複素数を表すものとし、
z,α,βは実数でない複素数であるとします。
(1)
\(z^2)はz^2の共役複素数ですので
(i)zが純虚数でないとき
z^2-\(z^2)は純虚数
(ii)zが純虚数であるとき
z^2-\(z^2)は実数
(2)
β\α=\(\β)\α=\(α\β)
ここで
α\β-β\α=0⇔β/α=\β/\α
⇔β/α=\(β/α)=r
(rは0でない実数)
となるので、tを0でないある実数とすると
(i)β=tαのとき
α\β-β\αは実数
(ii)β≠tαのとき
α\β-β\αは純虚数
(3)
(与式)=wとすると
\w=\{(α\β+\αβ)/(α\α-1)}
=\(α\β+\αβ)/\(α\α-1)
={\(α\β)+\(\αβ)}/{\(α\α)-1}
={\α\(\β)+\(\α)\β}/{\α\(\α)-1}
=(\αβ+α\β)/(\αα-1)
=w
∴wは実数
∴
(3)は実数
とはなりますが、(1)(2)は条件次第で
純虚数又は実数になります。
No.88616 - 2024/08/18(Sun) 00:01:59
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Re: 複素数21日目
/ Higasino
引用
追伸
間違っているかもしれませんが
私の見解です
No.88617 - 2024/08/18(Sun) 00:30:58
☆
Re: 複素数21日目
/ Higasino
引用
追伸
この問題は、有名なモノグラフからの出典で
ご承知かと思いますが、この本は、解説がないものが多いです
この問題も解説がありません
答えを添付しますが
解説は使う公式のみ記載されています
何卒よろしくお願いいたします
No.88618 - 2024/08/18(Sun) 02:25:40
☆
Re: 複素数21日目
/ IT
引用
z,α,βの前提条件がどこかに書いてあるのでは？
No.88619 - 2024/08/18(Sun) 08:30:33
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Re: 複素数21日目
/ X
引用
＞＞Higashinoさんへ
No.88617についてですが、
意味が不明です。
Re[z]=0又はIm[z]=0のとき
z^2-\(z^2)=0
となるというだけの話です。
＞＞Re[z]=0のとき、〜(与式)=-|z|^2
与式とz^2を混同しています。
Re[z]=0のとき、z^2=-|z|^2
∴(与式)=z^2-\(z^2)
=-|z|^2+|z|^2=0
です。
No.88621 - 2024/08/18(Sun) 09:22:17
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Re: 複素数21日目
/ Higasino
引用
申し訳ありません
回答に間違いがございました
自分なりに当番を作成しました
(1だけですが
ご意見いただけると幸いです
以下答案
No.88622 - 2024/08/18(Sun) 10:03:05
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Re: 複素数21日目
/ Higasino
引用
(3まで、答案を作成しました
ご指導のほどよろしくお願いします
以下答案
No.88623 - 2024/08/20(Tue) 10:01:40
