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記事No.88624に関するスレッドです
★ 2次方程式と整数 / ぴーたろ
こんにちは。高校3年生です。
画像の問題について質問させてください。

模範解答は理解しましたが、背理法ではなく普通に2次方程式を解いて回答を出そうとしました。（続きます）
No.88624 - 2024/08/20(Tue) 13:06:51
☆ Re: 2次方程式と整数 / ぴーたろ
画像のように解の公式を使ってxを考えました。
xが整数になならければよいので、分子が奇数になればよい(2で割って整数にならないので)と考えました。
-p±√(p^2-4q)が奇数になるにはpが奇数であることから奇数±偶数=奇数なので、p^2-4qが偶数になる必要がありますが、p^2-4qは奇数の2乗-偶数なので奇数になってしまい、xが整数になる場合が出てきてしまいそうです。

という考え方のどこがおかしいか教えてください。よろしくお願いします。
No.88625 - 2024/08/20(Tue) 13:16:43
☆ Re: 2次方程式と整数 / ast
書かれていること自体に「おかしい」点はありません, No.88625 は, 「奇数 p,q に対して p^2-4q が平方数となる (f(x)=0 に有理数解が存在する) ならば f(x)=0 は整数の解を持つ」ということを正しく示したものになっています.
# 当然のことではありますが, これがいくら正しい議論であっても, 仮定が満たされないとき,
# つまり "p^2-4q が平方数となることはない (i.e. p^2-4q=n^2 を満たす整数の組 (p,q,n) はない)" ならば
# No.88625 の議論全体が問題の主張に何の影響も持たない空虚な議論ということになります.

別な言い方をすれば, (「おかしい」のではなくて) 単に
> 分子が奇数にな
ることは
> xが整数にななら
いための十分条件に過ぎない (とくに必要条件ではない) ということです. つまり,
> 方程式 f(x)=0 が整数の解を持たない
という条件は "f(x)=0 が実数解を持たない" 場合や "f(x)=0 が無理数解を持つ" 場合にも満たされることはわかりますか? という話になりますね.
No.88629 - 2024/08/20(Tue) 18:07:38
☆ Re: 2次方程式と整数 / IT
質問の趣旨とはずれますが、元の模範解答は、少し記述を変えれば、「背理法」的でない答案にできますね。
No.88631 - 2024/08/20(Tue) 19:47:11
☆ Re: 2次方程式と整数 / IT
p^2-4q=n^2 (nは整数）とする。
(p+n)(p-n)=4q
p+nとp-n は偶奇が一致するので、ともに偶数

よって、qが奇数のとき
　p+n=2a,p-n=2b,(a,bは奇数)とおける。
∴2p=2a+2b ∴p=a+b:偶数となる。

したがってp,qが奇数のとき、p^2-4qは平方数となることはない。

※これは前の88631の続きではありません。解の公式を使った解答の一部です。
No.88632 - 2024/08/20(Tue) 21:16:50