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記事No.88676に関するスレッドです
★ ある関数列の極限（積分の評価） / 高校３年生
次の問題がどうしてもわかりません。
どなたかご教授をお願いいたします。
No.88676 - 2024/08/28(Wed) 19:33:01
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / IT
ｘ毎の収束先を求めれば良いのでは？　「各点収束」（ｃｆ「一様収束」）
No.88677 - 2024/08/28(Wed) 20:22:31
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 高校３年生
IT様
返信ありがとうございます。

xごとの収束でよろしいのでしょうか。
僕は(2)は「一斉に収束する収束先（一様と呼ぶのでしょうか）を求めよ」の意味だと思っています。

ということは、(2)は一様に収束する先など存在しないということでよろしいのでしょうか？

それとも評価の仕方によっては一様の収束を示せるのでしょうか。。。
No.88678 - 2024/08/28(Wed) 20:27:52
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / IT
「一様収束」の概念が出てくるのは、大学数学（１回生途中あたり）であること。

大学数学のテキストにもよりますが、
単に,lim(n→∞)ｆ[n](x) = f(x)　と 書いた場合は、「各点収束」を意味する場合が多い（？）こと。

などから、本問の場合は「各点収束」で良いと考えました。

出題者に確認してみられるか、解答を確認できれば、それが確実だと思いますが、出典は何ですか？
No.88679 - 2024/08/29(Thu) 19:47:19
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 高校３年生
IT様

勉強のためにインターネットで落札した大手予備校（かなり古い年度でかつ解答なし）のテスト問題でした。

各点収束を表すことが多いということでしたら、納得できました。
ありがとうございました。

ちなみにxの範囲を例えば-π/2<x<π/2なとど変えた場合ならば、「一様収束」ということで、僕の理解は合っていますでしょうか。

色々とお聞きしてすみません。
No.88680 - 2024/08/29(Thu) 22:45:21
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / IT
＞ちなみにxの範囲を例えば-π/2<x<π/2なとど変えた場合ならば、「一様収束」ということで、僕の理解は合っていますでしょうか。

しっかり調べてないので確実ではないですが、ｘが±πに近づくときが問題なので、それがない区間であれば「一様収束」になると思います。

もっと、しっかりした回答は他の回答者に期待します。
No.88681 - 2024/08/29(Thu) 23:05:57
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / IT
＞勉強のためにインターネットで落札した大手予備校（かなり古い年度でかつ解答なし）

受験勉強であれば、しっかりした解答解説がある問題集での学習が効率的だと思います。

進んだ内容を学習したいのなら、大学の数学の教科書も選択肢の一つです。
No.88682 - 2024/08/29(Thu) 23:09:49
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 餅
ITさんと同じ意見です

この問題の書き方だと各点収束です
一様収束の場合はそう明記するかlim fnのようにxに依存しない形で書きます

問題のfn(x)はf(x)=xのフーリエ級数です
x=±πの付近ではギブズ現象というのがおきるため、-π<x<πの範囲では一様収束しません

範囲が-π/2<x<π/2とかなら一様収束します

積分∫(1/ cos (t/2))'sin(n+1/2)t dtに関しては、
nが偶数の場合(奇数でも同様)、
あるαが存在して、α<t<πのとき常に
(1/ cos (t/2))'>0
sin(n+1/2)t>1/2
となりますから、α<xとして積分区間を0<t<αとα<t<xに分けると、
後者は1/2 ∫1/ (cos (t/2))'dt以上になるので
つまり1/2( 1/(cos(x/2))- 1/(cos α/2))以上ということで、
x→πの極限で∞に発散します
そのため、xに依存しない定数で抑えるということはできません
No.88683 - 2024/08/30(Fri) 12:22:49
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 餅
↑すみません、最後の段落は無視してください
ボケてました
No.88684 - 2024/08/30(Fri) 12:28:16
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 餅
訂正

誤
後者は1/2 ∫1/ (cos (t/2))'dt以上になるので

正
後者は1/2 ∫(1/ (cos (t/2)))'dt以上になるので

これでいいはず
No.88685 - 2024/08/30(Fri) 12:41:40
☆ Re: ある関数列の極限（積分の評価） / 高校３年生
餅様

ありがとうございました。
各点収束、一様収束、合わせて今後よく勉強しておきます。

ご教授ありがとうございました。
No.88686 - 2024/08/30(Fri) 12:55:21