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記事No.88692に関するスレッドです
★ 新潟大学　複素数 / Higashino
新潟大学過去問複素数
何卒よろしくお願いいたします
以下問題
No.88690 - 2024/08/31(Sat) 00:04:27
☆ Re: 新潟大学　複素数 / X
zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|α|=1 (A)
(α+z)/(1+αz)=\{(α+z)/(1+αz)} (B)
(B)より
(α+z)/(1+αz)=(\α+\z)/(1+\α\z)
(α+z)(1+\α\z)=(1+αz)(\α+\z)
両辺を展開し、(A)より
\αα=|α|^2=1
であることを使うと
α+z+\z+\α|z|^2=\α+z+\z+α|z|^2
α+\α|z|^2=\α+α|z|^2
(α-\α)(|z|^2-1)=0
∴α=\α,|z|=1

(I)α=\αのとき
αは絶対値が1である実数ゆえ
α=1,-1
(i)α=1のとき
(α+z)/(1+αz)=(1+z)/(1+z)
∴zはz≠-1である任意の複素数
(ii)α=-1のとき
(α+z)/(1+αz)=(-1+z)/(1-z)
=-(1-z)/(1-z)
∴zはz≠1である任意の複素数

(II)|z|=1のとき
(α+z)/(1+αz)の分母が0となるとき
z=-1/α
これは|z|=1を満たすので、
題意を満たすためには
z≠-1/α

以上から、求めるzに対する条件は
α=1のとき、z≠-1
α=-1のとき、z≠1
α≠1かつα≠-1のとき、|z|=1かつz≠-1/α
No.88691 - 2024/08/31(Sat) 09:41:55
☆ Re: 新潟大学　複素数 / Higashino
先生、こんにちは
大変参考になるご回答ありがとうございます
私も考え方がまとまりましたので
答案を投稿いたします
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案
No.88692 - 2024/08/31(Sat) 19:20:43
☆ Re: 新潟大学　複素数 / X
No.88691ですが、略解としても雑な箇所がありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。

で、No.88692ついてですが、
最後から2行目で
＞＞|z|=cosθ+isinθ
とありますが、左辺の絶対値は誤字でしょうか。
その他に問題は無いと思います。
No.88694 - 2024/08/31(Sat) 20:09:40