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記事No.88706に関するスレッドです
★ 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino
東京医科歯科大学過去問複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88706 - 2024/09/02(Mon) 05:54:26
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X
問題の二次方程式を(A)とします。

条件から、(A)はx=0を解に持たないので
x≠0
∴(A)から
α=-x-1/x-2i/x
xは実数なので
|α|^2=(x+1/x)^2+4/x^2
=x^2+2+5/x^2
={x+(√5)/x}^2+2-2√5 (B)
ここで
(i)x＞0のとき
相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=5^(1/4)のとき成立)
(ii)x＜0のとき
やはり相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x=-{(-x)+(√5)/(-x)}≦-2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=-5^(1/4)のとき成立)

(i)(ii)からx≠0なる実数xに対し
|x+(√5)/x|≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号は|x|=5^(1/4)のとき成立)
∴(B)より
|α|^2≧2+2√5
∴|α|≧√(2+2√5)
となるので|α|の最小値は√(2+2√5)
(このとき、(A)の実数解は
5^(1/4),-5^(1/4)
のうちのいずれか一方。)
No.88708 - 2024/09/02(Mon) 10:00:41
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ
別解をあげておきます

α=a+biとおく
xが方程式の実数解であることは次と同値
1. x^2+ax+1=0
2. bx+2=0
2よりb≠0かつx=-2/b。これを1に代入して
a=2/b+b/2
逆に、0でない任意の実数bに対して、aをこのように決めると、x=-2/bが方程式の解になる

|α|=√(a^2+b^2)=√(5/4b^2+4/b^2+2)
≧√(2+√5)(相加相乗平均の関係)
b=(16/5)^(1/4)の時に等号成立
No.88709 - 2024/09/02(Mon) 14:34:32
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino
先生、こんにちは
Xで割ると言うようなスマートな方法は思い浮かばず、下手に解いていました
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案
No.88710 - 2024/09/02(Mon) 15:38:46
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X
＞＞Higashinoさんへ
問題ないと思います。

＞＞あんこさんへ
下から2行目ですが、相加平均と相乗平均の関係
の適用の仕方を間違えているのでは？。
No.88711 - 2024/09/02(Mon) 16:25:59
☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ
Xさん
ご指摘の通りです。
係数2が抜けていました。
No.88721 - 2024/09/02(Mon) 23:40:53