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記事No.88712に関するスレッドです
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三角関数
/ mofukun
引用
三角形ABCがあり、
AB＝8、BC＝3、∠ABC＝3θ、∠BCA＝θのとき、
ACの長さxを求めよ。
xは自然数になるようですが、どうやって解けばいいのでしょう？
No.88712 - 2024/09/02(Mon) 19:58:12
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Re: 三角関数
/ らすかる
引用
「xは自然数」というのを条件として使って良いのであれば
条件からxは9か10
x=9のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+9^2-8^2)/(2×3×9)=13/27
cos3θ=(3^2+8^2-9^2)/(2×3×8)=-1/6
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-19643/19683≠-1/6で不適
x=10のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+10^2-8^2)/(2×3×10)=3/4
cos3θ=(3^2+8^2-10^2)/(2×3×8)=-9/16
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-9/16なので適
∴x=10
「xは自然数」というのを条件として使えないのであれば
余弦定理から
cosθ=(x^2+9-64)/(2×3×x)=(x^2-55)/(6x)
cos3θ=(9+64-x^2)/(2×3×8)=(73-x^2)/48
cosの三倍角の公式cos3θ=4cosθ^3-3cosθに代入して
(73-x^2)/48=4{(x^2-55)/(6x)}^3-3{(x^2-55)/(6x)}
整理して
8x^6+9x^5-1536x^4-657x^3+84480x^2-1331000=0
(x-10)(x+5)(x+11)(8x-55)(x^2+2x-44)=0
8＜x＜11なので x=10
No.88714 - 2024/09/02(Mon) 20:59:48
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Re: 三角関数
/ ast
引用
A から直線 BC へ下ろした垂線の足 H を使って, 三角形AHC および三角形 AHB の各辺の長さを θ を使って書けば
x sin(θ)= 8 sin(π - 3θ) ……(1),
x cos(θ) = 3 + 8 cos(π - 3 θ) ……(2)
になるので, (1) から cos(θ)=√((x+8)/32), これを (2) に代入して整理すれば
(x-8)^2 (x+8) = 72 (ただし x-8>0) ……(3)
⇔ (x-10)(x^2+2x-44) = 0
∴x=10.
というのでは如何でしょう.
No.88715 - 2024/09/02(Mon) 21:25:34
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Re: 三角関数
/ 黄桃
引用
astさんと同じようなものですが、こっちだと3θが出てこないので一応。
AC上に点Dを角DBC=θとなるようにとれば、
△ABD,△DBCはいずれも二等辺三角形。
DC=BC=yとおけば、x=y+8。
さらにcosの定義（あるいは余弦定理）より
cos(2θ)=(y/2)/8
cos(θ)=(3/2)/y
だから、
cos(2θ)=2cos^2(θ)-1
に代入して整理すれば
y^3+16y^2-72=0
となり、
(y-2)(y^2+18y+36)=0
を得る。これより
y=2, -9±3√5
だが、y>0より y=2,cos(θ)=3/4 と求まる。
よって x=8+2=10...(答)
No.88725 - 2024/09/03(Tue) 23:21:52
