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記事No.88716に関するスレッドです
★ 弘前大学　二次方程式 / Higashino
弘前大学　過去問　二次方程式
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.88716 - 2024/09/02(Mon) 21:29:53
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / un kn0wn
|α+1|=1より、
α+1=1のとき a=0
-(α+1)=1のとき a=-2
α=0のとき、2次方程式に代入して0✕x^2+0x+1=1≠0より不適。
α=-2のとき、a✕(-2)^2+(-2)+1=0 4a-1=0 a=1/4
こたえ a=1/4

いやいや、絶対違う気がするんだけど(範囲って言ってんのにa=1/4とか)　aに1/4を入れて、方程式を解くとx=-2が重解で出てきて|α+1|で1になるんですよね… |α+1|=1 を満たす数が0,-2しかなくて、0は今回の場合二次方程式の解として不適。ということはあってる！？
No.88717 - 2024/09/02(Mon) 21:48:00
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / un kn0wn
↑ごめんなさい、2,3行目で打ち間違えてます。
α+1=1のとき α=0
-(α+1)=1のとき α=-2
No.88718 - 2024/09/02(Mon) 21:50:59
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
横から失礼します。

ax^2+x+1=0 (A)
|α+1|=1 (B)
とします。

(i)αが実数のとき
(B)より
α+1=1,-1
∴α=0,-2
となるが、(A)はx=0を解に持たないので
α=-2
このとき、(A)より
4a-1=0
∴a=1/4

(ii)αが複素数のとき
a=0を仮定すると(A)の解は実数となってしまい、
条件に合わないため
a≠0
∴例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにすると
\αも(A)の解.
∴解と係数の関係から
α+\α=-1/a (C)
\αα=1/a (D)
一方、(B)より
|α+1|^2=1
これより
(α+1)(\α+1)=1
\αα=-(α+\α) (A)'
(C)(D)(A)'より、
αが複素数であるような任意のaに対し、(B)は成立。
さて、このとき(A)の解の判別式をDとすると
D=1-4a＜0
∴1/4＜a

(i)(ii)より求めるaの値の範囲は
1/4≦a
No.88722 - 2024/09/03(Tue) 21:16:00
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
こんにちは
ご回答いただきありがとうございます
返信に時間がかかり申し訳ございませんでした
以下、私の答案が出来上がりましたので
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案
No.88731 - 2024/09/04(Wed) 13:35:58
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
答案書き直しです

何卒よろしくお願いします

以下答案
No.88732 - 2024/09/04(Wed) 15:17:14
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
その方針で書くなら、問題の二次方程式が重解でない実数解
を持つ場合のチェックの記述が必要です。
No.88733 - 2024/09/04(Wed) 18:43:46
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
エックス先生、こんばんは
今回はご指摘いただき感謝いたします
私なりに答案を再作成しました
アドバイスご指摘いただけると幸いです
以下答案
No.88734 - 2024/09/04(Wed) 20:00:19
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
修正された点は単に重解を持つ条件を調べただけで
修正した意味がありません。

そうではなくて、
|α+1|=1
においてαが実数のとき、得られる値である
α=0,-2
のときのaの値を調べないと、重解でない
実数解を持つ場合は条件を満たさないことを
チェックしたことにならず、解答としては
不十分だということを言っています。
No.88735 - 2024/09/04(Wed) 20:57:20
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / Higashino
x先生で
前回のご指摘ですが　お聞きしたいことがあります
改めて、答案の補足をいたしましたので、ご意見いただけると幸いです
No.88736 - 2024/09/04(Wed) 21:25:04
☆ Re: 弘前大学　二次方程式 / X
説明の仕方が悪かったので、改めてアップを。

Higashinoさんの解答では
αが実数のとき、
|α+1|=1
を満たすαの値を求める、というステップが足りません。
このステップがないと、
αが重解ではない実数解にはなり得ない
ことを示すことにはなりません。
No.88749 - 2024/09/05(Thu) 20:11:47