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記事No.88744に関するスレッドです
★ 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
滋賀大　過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88744 - 2024/09/05(Thu) 16:27:30
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\z[k]z[k]=1
(k=1,2,3)
∴
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])(\z[1]\z[2]+\z[2]\z[3]+\z[3]\z[1])
=3+(z[1]z[2]\z[2]\z[3]+\z[1]\z[2]z[2]z[3])+(z[2]z[3]\z[3]\z[1]+\z[2]\z[3]z[3]z[1])+(z[3]z[1]\z[1]\z[2]+\z[3]\z[1]z[1]z[2])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (A)
|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(z[1]+z[2]+z[3])(\z[1]+\z[2]+\z[3])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (B)
(A)(B)より
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=|z[1]+z[2]+z[3]|^2
これより
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|=|z[1]+z[2]+z[3]|
よって
(i)z[1]+z[2]+z[3]≠0のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|=1
(ii)z[1]+z[2]+z[3]=0、つまり
(z[1].z[2],z[3]=(cosθ+isinθ,cos(θ+2π/3)+isin(θ+2π/3),cos(θ+4π/3)+isin(θ+4π/3))
(θは0≦θ＜2πなる任意の実数)
のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|
の値は存在しません。
No.88745 - 2024/09/05(Thu) 17:24:53
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
エス先生、こんにちは
このたびもご回答くださりありがとうございます
いよいよこれから複素数平面の勉強に入っていきます。これからもよろしくお願いいたします。
私の回答がまとまりましたので
投稿させていただきます
ご指摘指　アドバイス　ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88747 - 2024/09/05(Thu) 19:47:20
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
いくつか質問を。

1)
一行目に
＞＞対等性から〜
とありますが、「対等性」とはどのような意味で
使っていますか。

2)
補1において
p=z[1]+z[2]+z[3]
のとき
\p=1/p
となっていますが、根拠は何ですか。
No.88750 - 2024/09/05(Thu) 21:29:50
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
X先生、おはようございます
ご返信が遅くなり誠に申し訳ございませんでした
ご指摘の箇所ですが、私なりにご説明いたしました
不十分かと思われますが　その際はご指摘アドバイスよろしくお願いいたします


以下、答案書き直し
No.88763 - 2024/09/07(Sat) 07:41:57
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
まず、補1)について

|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1
であっても
|z[1]+z[2]+z[3]|=1
とは限りませんので
\(z[1]+z[2]+z[3])=1/(z[1]+z[2]+z[3])
は一般には成立しません。
反例)
z[1]=1,z[2]=1,z[3]=1/√2+i/√2のとき
z[1]+z[2]+z[3]=(2+1/√2)+i/√2
∴|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(2+1/√2)^2+1/2
=5+2√2≠1
となるので
\(z[1]+z[2]+z[3])≠1/(z[1]+z[2]+z[3])

次に
＞＞対等性より
＞＞z[1]=z[2]=z[3]
としていますが、問題の条件は
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1 (A)
ですので
z[1]=z[2]=z[3] (B)
は(A)の特別な場合に過ぎません。
従って(B)を使って、問題の値を計算しても
解答としては不完全です。
No.88768 - 2024/09/07(Sat) 09:24:00
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
x先生へ
度々申し訳ございません
ご指摘の
>|z[1]+z[2]+z[3]|=1
をどこで私が使っているのかがわかりません
教えてくださると幸いです
No.88774 - 2024/09/07(Sat) 12:14:52
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
No.88763の添付写真の、2)から4行目の最右辺の一つ左の辺
と二つ左の辺の
＞＞\z[1]+\z[2]+\z[3]=1/(z[1]+z[2]+z[3])
です。

p=z[1]+z[2]+z[3]
としているのであれば
\p=1/p⇔\pp=1⇔|p|^2=1
⇔|p|=1
∴|z[1]+z[2]+z[3]|=1
となってしまいます。
No.88784 - 2024/09/07(Sat) 20:53:10