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記事No.88798に関するスレッドです
★
数列 高3
/ ふっく
引用
⑶の解き方がわかりません、お願いします
No.88798 - 2024/09/08(Sun) 21:05:08
☆
Re: 数列 高3
/ ヨッシー
引用
(3)
１辺が１の下向き正三角形は、２段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
１辺が２の下向き正三角形は、４段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
・・・
１辺がｋの下向き正三角形は、2k段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
ｎ段積んだときを考えると、
ｎが偶数のとき
１辺がn/2の下向き正三角形は、１個
１辺がn/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3 個
１辺がn/2−2 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4＋5 個
・・・
１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−2k＋1) 個
・・・
１辺が １ の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
これらを小さい順に
1, 1＋3, 1+3+5,・・・1＋2＋3＋・・・＋(n−1)
のように n/2 個の数を並べ、順に a[1], a[2],・・・a[n/2] とします。
a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-3)＝2k(k+1)−3k＝k(2k−1)
これを k=1〜n/2 まで足すと
Σ[k=1〜n/2](2k^2−k)＝(n/2)(n/2+1)(n+1)/3−(n/2)(n/2+1)/2＝(n/2)(n/2+1)(2n-1)/6 ・・・答え１
ｎが奇数のとき
１辺が(n−1)/2 の下向き正三角形は、1＋2 個
１辺が(n−1)/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4 個
・・・
１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・ (n−2k+1) 個
・・・
１辺が 1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
同様に a[1], a[2],・・・a[(n-1)/2] とすると、
a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-1)＝2k(k+1)−k＝2k^2＋k
これを k=1〜(n−1)/2 まで足すと
Σ[k=1〜(n-1)/2](2k^2＋k)＝n{(n-1)/2}{(n＋1)/2}/3＋{(n−1)/2}{(n＋1)/2}/2＝{(n−1)/2}{(n＋1)/2}(2n＋3)/6 ・・・答え２
No.88823 - 2024/09/11(Wed) 09:19:59
