岐阜大学過去問
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
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No.88799 - 2024/09/08(Sun) 21:57:43
| ☆ Re: 複素数平面 第二2日目 / X | | | 別解をアップしておきます。
別解)
条件から
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=|z[4]|=r(rは正の定数) (A)
z[1]+z[2]+z[3]+z[4]=0 (B)
今、z[k](k=1,2,3,4)を解とする4次方程式を
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=0 (C)
と置くと
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[3])(x-z[4])
右辺を展開して係数を比較すると
a=-(z[1]+z[2]+z[3]+z[4]) (D)
c=-{z[1]z[2]z[3]+z[1]z[3]z[4]+z[1]z[2]z[4]+z[2]z[3]z[4]} (E)
d=z[1]z[2]z[3]z[4] (F)
(B)(D)より
a=0 (D)'
一方(F)を(E)に用いると
c=-d(1/z[1]+1/z[2]+1/z[3]+1/z[4]) (E)'
ここで(A)より
\z[k]=(r^2)/z[k] (k=1,2,3,4) (\zはzの共役複素数。以下同じ)
∴(E)'から
c=-d(\z[1]+\z[2]+\z[3]+\z[4])/r^2
=-(d/r^2)\(z[1]+z[2]+z[3]+z[4])
=0 (E)" (∵)(B)を代入
(D)'(E)"より(C)は
x^4+bx^2+d=0 (C)'
∴(C)'の解のうち、２つをt,u(但しt≠-u)とすると、
残りの二つは-t,-uとなるので、z[1],z[2],z[3],z[4]に対応する
複素平面上の点は、原点に関して対称な2点2組で構成されます。
∴(A)よりz[1],z[2],z[3],z[4]に対応する点を頂点とする
四角形の２本の対角線の長さは等しく、かつ対角線の中点
は原点となるので、問題の命題は成立します。
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No.88809 - 2024/09/09(Mon) 17:49:13 |
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