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記事No.88819に関するスレッドです
★ 複素数平面　類題 / Higashino
前回の質問の類題です
何卒よろしくお願いいたします

以下問題
No.88814 - 2024/09/10(Tue) 03:02:18
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
α,β,γに対応する点をA,B,Cとすると
|α|=|β|=|γ|
より、△ABCの外心は原点 (A)
一方
α+β+γ=0
より
(α+β+γ)/3=0
∴△ABCの重心も原点 (B)
(A)(B)より、問題の命題は成立します。
No.88815 - 2024/09/10(Tue) 19:05:15
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
「外心と重心が一致する三角形は、正三角形である。」は正しいですが、証明が必要だと思います。
No.88816 - 2024/09/10(Tue) 20:26:17
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
先生方、ご回答ありがとうございます

x先生のご回答ですが
>『三角形において、重心、外心、内心、垂心のうち、

少なくとも2つが一致していれば、正三角形である、』

の証明が必要になりますが、私には煩雑すぎて諦めました

ベクトルを使い証明しました

以下答案です　

ご指導　アドバイス　ご指摘のほど何卒よろしくお願いいたします
No.88819 - 2024/09/10(Tue) 22:58:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
Higashinoさんの A,B,C はどんな点ですか？
なぜα＝AB→、β＝BC→、γ＝CA→と置けるのですか？
No.88820 - 2024/09/10(Tue) 23:34:08
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
IT先生へ

ご指摘ありがとうございます

再度私なりの説明をいたします
No.88821 - 2024/09/11(Wed) 00:44:42
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
＞＞ITさんへ
やはり、その証明が必要になりますね。
証明なしで使える前提にしたかったのですが。

＞＞Higashinoさんへ
以下の補題を証明します。
但し、証明なしで中線定理を使うことを
前提にします。

補題)
△ABCの重心と外心が一致するとき、
△ABCは正三角形である。

証明)
△ABCの重心をG、外接円の半径をRとすると、
条件から
AG=BG=CG=R
∴辺BCの中点をMとすると
AM=(3/2)AG=(3/2)R (A)
となるので、中線定理により
AB^2+CA^2=2{{(3/2)R}^2+(BC/2)^2}
これより
∴AB^2+CA^2-(1/2)BC^2=(9/2)R^2 (B)
同様に辺CA,ABの中点に注目した中線定理により
BC^2+AB^2-(1/2)CA^2=(9/2)R^2 (C)
BC^2+CA^2-(1/2)AB^2=(9/2)R^2 (D)
(B)-(C)より
(3/2)CA^2-(3/2)BC^2=0
(CA-BC)(BC+CA)=0
∴BC＞0,CA＞0から
BC=CA (E)
同様に(C)-(D)から
CA=AB (F)
(E)(F)より、△ABCは正三角形。
No.88824 - 2024/09/11(Wed) 17:40:40
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
只、これでは確かに練習問題の解答としては煩雑ですので
別解をアップしておきます。

別解)
|α|=|β|=|γ| (A)
α+β+γ=0 (B)
とします
(B)より
γ=-(α+β)
これを(A)に代入して
|α|=|β|=|α+β|^2
各辺2乗して右辺を展開すると
|α|^2=|β|^2=|α|^2+|β|^2+(α\β+\αβ)
∴|α|^2=2|α|^2+(α\β+\αβ)
α\β+\αβ=-|α|^2 (C)
同様に(B)を用いて、β、γを消去することにより
β\γ+\βγ=-|β|^2 (D)
γ\α+\γα=-|γ|^2 (E)

(A)(C)より
|α-β|^2=|α|^2+|β|^2-(α\β+\αβ)
=3|α|^2 (C)'
同様に(A)(D)により
|β-γ|^2=3β^2 (D)'
(A)(E)により
|γ-α|^2=3γ^2 (E)'

(A)(C)'(D)'(E)'から
|α-β|^2=|β-γ|^2=|γ-α|^2
∴|α-β|=|β-γ|=|γ-α|
となるので、問題の命題は成立します。
No.88825 - 2024/09/11(Wed) 17:50:01
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
No.88825について、少し解説を。

問題の点α,β,γでできる三角形が正三角形だとして
複素平面上に図を描いてみると
|α-β|=(√3)|α| (P)
となっていることが分かります。
(正三角形の頂点と原点とを結んだ線分を考えましょう)

(P)⇔|α-β|^2=3|α|^2 (Q)
となることから、(Q)を証明する方針で
解くことになりますが、

問題となるのが、(Q)の左辺を展開した
ときに出てくる
α\β+\αβ
をどのようにαの式で表すか、です。
その処理がNo.88825の(C)までの過程
になっています。

(A)(B)はα、β、γに関する対称式に
なっていますので、(C)(C)'が求められれば
残りのβ、γについての式はα、β、γを
サイクリックに回していけば容易に求められます。
No.88826 - 2024/09/11(Wed) 18:06:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
x先生IT 先生

今回もありがとうございました

またよろしくお願いいたします
No.88827 - 2024/09/11(Wed) 19:21:26