2問、よろしくお願いいたします。
一問だけでも構いません。面白い解答お待ちしております。
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No.88932 - 2024/09/26(Thu) 18:27:07
| ☆ Re: 関数 2問 / らすかる | | | (1)
x=u+v, y=u-v とおくと
x^2-xy+y^2=u^2+3v^2, xy+x+y=u^2+2u-v^2 となるので
u^2+3v^2=1のときにu^2+2u-v^2の最大値と最小値を求める問題になる。
z=u^2+2u-v^2にv^2=(1-u^2)/3を代入し整理すると
u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=0
これが|u|≦1である解を持てばよい。
f(u)=u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=(u+3/4)^2-(12z+13)/16とおくと
f(u)はu=-3/4を軸とする下に凸な放物線なので、|u|≦1である解を持つとき
-(12z+13)/16はf(1)=0のとき最小、f(-3/4)=0のとき最大
f(1)=0→z=3、f(-3/4)=0→z=-13/12なので
u^2+2u-v^2の最小値はu=-3/4のときで-13/12、最大値はu=1のときで3
u=-3/4→v=±√21/12→(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)
u=1→v=0→(x,y)=(1,1)
なので、求める答えは
(x,y)=(1,1)のとき最大値3、
(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)のとき最小値-13/12
(2)
xy≠0のとき
z=(-x^2+xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(-x/y+1+y/x)/(x/y+1+y/x)
t=x/yとおくと
z=(-t+1+1/t)/(t+1+1/t)
=(-t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=1-2t^2/(t^2+t+1)
=1-2/(1+1/t+1/t^2)
zが最小⇔2/(1+1/t+1/t^2)が最大⇔1+1/t+1/t^2が最小
1+1/t+1/t^2=kとおいて整理すると
(1-k)t^2+t+1=0
これが解を持つためには
D=1-4(1-k)≧0→k≧3/4
よって最小値はk=3/4、このときz=1-2/(3/4)=-5/3
k=3/4のとき(1-k)t^2+t+1=0の解はt=-2つまり(x,y)=(2s,-s)
x=0のときz=1だがこれは最小値ではない。
y=0のときz=-1だがこれも最小値ではない。
従って(x,y)=(2t,-t)（tは0でない任意の実数）のとき最小値-5/3をとる。
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No.88937 - 2024/09/27(Fri) 05:42:57 |
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