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記事No.88999に関するスレッドです
★ 九州大学過去問 / Higashino
九州大学過去問

方程式

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88996 - 2024/10/04(Fri) 09:29:59
☆ Re: 九州大学過去問 / X
xの二次方程式
x^2-x√2+1=0
を解くと
x=cos(π/4)±isin(π/4)
∴条件から、因数定理とドモアブルの定理により
cos(nπ/2)+isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)+isin(nπ/4)}+1=0 (A)
cos(nπ/2)-isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)-isin(nπ/4)}+1=0 (B)
(A)(B)において、複素数の相等の定義により
cos(nπ/2)-(√2)cos(nπ/4)+1=0 (C)
sin(nπ/2)-(√2)sin(nπ/4)=0 (D)

(C)より
2{cos(nπ/4)}^2-(√2)cos(nπ/4)=0
∴cos(nπ/4)=1/√2,0 (C)'
(D)より
2sin(nπ/4)cos(nπ/4)-(√2)sin(nπ/4)=0
{2cos(nπ/4)-√2}sin(nπ/4)=0
∴
sin(nπ/4)=0又はcos(nπ/4)=1/√2 (D)'
(C)'(D)'より
cos(nπ/4)=1/√2
∴nπ/4=π/4+2mπ,-π/4+2mπ
(mは任意の整数)
となるので
n=1+8m,-1+8m
nはn＞1なる自然数ゆえ、求める最小となるnの値は
n=7
No.88998 - 2024/10/04(Fri) 10:32:05
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

お久しぶりでございます

ご回答ありがとうございました

私は図形的なアプローチをしていました

不備などあると思いますので、ぜひともアドバイスいただけると幸いです

以下答案
No.88999 - 2024/10/04(Fri) 12:54:27
☆ Re: 九州大学過去問 / X
＞＞n=8,4は〇Aに反する
nを議論する場合、xではなくて
x^n=cos(nπ/4)+isin(nπ/4)
をつかっていますので、その結論はおかしいです。
(実際、n=8のとき、〇Bは成立しています。
求めるのはnの値ではなくて、
nの値の最小値
です。
nの値の候補を探して、その中から、最小値を
求めるという方針を考えることになります。)

Higanshinoさんの解答は、
n=1,2,…,8
までにnの最小値の候補を絞り込んで、その中から
不適当なものを除いていく、という方針と見ました。
でしたら、その方針に沿って
〇Bにn=1,…,8を代入して判定した方が
よろしいと思います。
No.89001 - 2024/10/04(Fri) 19:14:15
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんばんは

ご指導ありがとうございます

n = 1、8 の時

共役複素数にはなりませんが

この議論が間違っているのでしょうか？

教えてください

何卒よろしくお願いします
No.89003 - 2024/10/04(Fri) 21:42:37
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
追伸

n に間違いがありました

正しくは
n =0、4、8

です
No.89004 - 2024/10/04(Fri) 21:45:27
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生

改めた答案と、私の考え方を述べました

以下になります
No.89005 - 2024/10/04(Fri) 22:11:50
☆ Re: 九州大学過去問 / X
虚数部が0の複素数をzとすると、zの共役複素数は
z自身です。
共役複素数が存在しないわけではありません。
No.89008 - 2024/10/05(Sat) 00:49:47
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
遅くまでありがとうございます

私の持っている書物には
共役複素数の定義は

虚部の符号だけが違う2つの複素数を、互いに共役であると言い　一方は、他方の共役複素数と言う

と定義されています

書に誤りがあるのでしょうか？

何卒よろしくお願いします
No.89010 - 2024/10/05(Sat) 01:17:18
☆ Re: 九州大学過去問 / X
その定義が間違っているのではありません。

以下、zの共役複素数を\zと書くことにします。

まず、
実数は「虚数部が0である」複素数
であることはよろしいですか？
つまり、rを実数として
z=r
なる複素数zを考えるとき
z=r+i0
これの共役複素数は
\z=r-i0
となる、ということです。

Higashinoさんの持っている書物の
共役複素数の定義でも、
共役複素数を持つ複素数の虚数部は0ではない
という条件はどこにもありませんよね。
No.89012 - 2024/10/05(Sat) 12:25:45
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

私のためにお時間を割いていただき感謝いたします

この問題では
共役複素数解を持たねばなりません

その意味において

次の定理を探しました

ご意見いただけると幸いです
No.89013 - 2024/10/05(Sat) 14:38:36
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
推進です

どうぞよろしくお願いします
No.89014 - 2024/10/05(Sat) 14:52:23
☆ Re: 九州大学過去問 / X
書き方が悪かったようですね。
No.89008添付写真の下から２行目で

＞＞n=8のとき
＞＞f(n_8)=0

とありますが、議論がおかしいです。
n=8のときのf(α)
を
n=8のときのf(α^n)
と混同してしまっています。

そもそもn=8のとき、
α^n=1
ですので
f(α)≠0
です。
No.89018 - 2024/10/05(Sat) 18:55:06
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
　何度も申し訳ございません

ありがとうございます

n = 0 、4、8

については　前述した通り　共役な複素数解を持ちませんから　不適切で
議論から外しても良いのではないかと思います
No.89019 - 2024/10/05(Sat) 20:02:42
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
失礼しました

n は1より大きい数なので
n = 4、8 の時
図より、明らかに　共役な複素数解は持たないので
特に議論は必要ないと思うのです
No.89020 - 2024/10/05(Sat) 20:26:10