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記事No.89044に関するスレッドです
★ (No Subject) / era
中3範囲で解けるみたいですが手も足も出ないです。
図が若干雑ですが1辺が3,5,7の三角形の、赤い部分の角度は？という問題です。
No.89044 - 2024/10/06(Sun) 23:59:04
☆ Re: / らすかる
△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
∠Aの角の二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD：DC=AB：AC=3：5からBD=21/8、DC=35/8
AからBCに垂線AHをおろすと、三平方の定理から
BH^2+AH^2=3^2=9, HC^2+AH^2=5^2=25
2式の差をとり
HC^2-BH^2=25-9=16
HC=7-BHだから
(7-BH)^2-BH^2=16
これを解いて BH=33/14
AH^2=9-BH^2=675/196
またHD=BD-BH=15/56なので
AD^2=AH^2+HD^2=675/196+(15/56)^2=(15/8)^2
∴AD=15/8
Bを通りADと平行な直線と直線ACの交点をEとすると
△EBC∽△ADCで相似比はBC：DC=7：35/8=8：5だから
EB=(8/5)AD=3、EC=(8/5)AC=8
よってEA=EC-AC=3=EB=ABなので△EBAは正三角形
従って∠CAD=∠CEB=60°なので、求める角度は∠CAB=2∠CAD=120°

(ちょっとズルめな別解)
見た感じ120°と予想されるので
2辺が3と5で間の角度が120°の三角形の残りの辺が
7になるかどうかを調べることにする。
一辺が3の正三角形EBAを描きEAの中点をMとするとAM=3/2、BM=3√3/2
EAの延長上にAC=5となるように点Cをとると
MC=AM+AC=13/2
BC^2=BM^2+MC^2=27/4+169/4=49からBC=7
従って△ABCは問題の三角形と合同だから、求める角度は120°
No.89045 - 2024/10/07(Mon) 05:56:09
☆ Re: / IT
△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
Cから直線ABに垂線CHをひくと

三平方の定理から
BH^2+CH^2＝BC^2 ∴(3+AH)^2+CH^2=7^2
AH^2+CH^2=AC^2=5^2

2式の差を取ると
9+6AH=24∴AH=5/2＝AC/2

直線AB上にAH=HD となるAとは異なる点Dを取ると
△ACDは正三角形で∠CAD=60°
∴∠BAC=180°-60°=120°

※種明かし、高校で習う「余弦定理」の特別な場合なので証明を真似しました。
No.89050 - 2024/10/07(Mon) 21:53:06