複素数平面
九州大学過去問
何卒よろしくお願いします
以下問題
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No.89064 - 2024/10/09(Wed) 14:18:37
| ☆ Re: 九州大学過去問 / X | | | (1)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2)
z[3]=cos(θ+π)+isin(θ+π)
z[4]=cos(θ+3π/2)+isin(θ+3π/2)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=cos(kθ+kπ/2)+isin(kθ+kπ/2)
z[3]^k=cos(kθ+kπ)+isin(kθ+kπ)
z[4]^k=cos(kθ+3kπ/2)+isin(kθ+3kπ/2)
(2)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=i(cosθ+isinθ)
z[3]=-(cosθ+isinθ)
z[4]=-i(cosθ+isinθ)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=(i^k)(coskθ+isinkθ)
z[3]^k={(-1)^k}(coskθ+isinkθ)
z[4]^k={(-i)^k}(coskθ+isinkθ)
よって、求める相異なるものの個数は
A[k]={1,i^k,(-1)^k,(-i)^k}
なる集合A[k]の相異なる要素の個数
と同じになるので
(i)k=2のとき
A[k]={1,-1,1,-1}
により2個
(ii)k=3のとき
A[k]={1,-i,-1,i}
により4個
(iii)k=4のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個
(iv)k=100のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個
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No.89065 - 2024/10/09(Wed) 19:48:58 |
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