[
掲示板に戻る
]
記事No.89157に関するスレッドです
★
埼玉大学過去問
/ Higashino
引用
複素数平面
埼玉大学過去問
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.89145 - 2024/10/17(Thu) 09:17:33
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ ヨッシー
引用
まず、絶対値にのみ着目すると、
|１＋ｉ|＝√2
|ａ−ｉ|＝√(ａ^2＋１)
|ａ−3ｉ|＝√(ａ^2＋９)
に対して、
|ｚ|＝√8(ａ^2＋１)/√2(ａ^2＋９)
＝２(ａ^2＋１)/(ａ^2＋９)＝２／３
３(ａ^2＋１)＝(ａ^2＋９)
これを解いて、
ａ＝√3
次に、偏角（arg(z) で、z の偏角を表すことにします）に着目すると
arg(１＋ｉ)＝π/4
arg(ａ−ｉ)＝−π/6
arg(ａ−3ｉ)＝−π/3
に対して
arg(z)＝π/4×３−π/6×２＋π/3×２＝13π/12
よって、
ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(13ｎπ/12)＋ｉsin(13ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89149 - 2024/10/17(Thu) 15:39:57
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ X
引用
横から失礼します。
＞＞ヨッシーさんへ
aが負の実数の場合が抜けていませんか？
No.89150 - 2024/10/17(Thu) 17:23:41
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ ヨッシー
引用
>>Xさん
そうでした。
正なのはｎだけでしたね。
以下、ａ＝−√3 の時の解答です。
ａ＝−√3 のとき、
偏角に着目すると
arg(１＋ｉ)＝π/4
arg(ａ−ｉ)＝7π/6
arg(ａ−3ｉ)＝4π/3
に対して
arg(z)＝π/4×３＋7π/6×２−4π/3×２＝5π/12
よって、
ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(5ｎπ/12)＋ｉsin(5ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89153 - 2024/10/17(Thu) 22:33:54
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ Higashino
引用
ヨッシー先生、こんにちは
ご回答ありがとうございます
オイラーの法則 複数数指数関数で考えてみました
ご指導いただければ幸い
以下答案
No.89157 - 2024/10/18(Fri) 15:00:11
