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記事No.89263に関するスレッドです
★
青山大学過去問
/ Higashino
引用
問題の解説で
>f(x)=x⁵-1とすれば(与式)=f'(2)/f(2) -1=49/31
とあるのですが
与式の変形が分かりません
わかる方がいらっしゃいましたら
教えてください
お願いします
以下問題
No.89252 - 2024/11/02(Sat) 11:29:55
☆
Re: 青山大学過去問
/ らすかる
引用
(与式)+1
=
1/(2-α^0)+1/(2-α^1)+1/(2-α^2)+1/(2-α^3)+1/(2-α^4)
=
{(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)}
/
{(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)} … (★)
f(x)=x^5-1=(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
なので
(★)の分母はf(2)
f'(x)=
(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)
なので
(★)の分子はf'(2)
よって(与式)=f'(2)/f(2)-1
No.89255 - 2024/11/02(Sat) 16:23:11
☆
Re: 青山大学過去問
/ Higashino
引用
ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした
ラスカル先生の説明に感動に浸っておりました
まだしっかり理解したわけではないので
自分でもう少し考えてまた質問があればさせていただきます
解読までもう少しお時間を下さい
今回は本当にありがとうございました
感動いたしました
No.89257 - 2024/11/03(Sun) 04:47:25
☆
Re: 青山大学過去問
/ GandB
引用
もう解読したかもしれないけど、参考までに。
α = cos(2π/5) + isin(2π/5)
より
x^5 - 1 = (x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
右辺の微分は5個の一次式の積の微分になるから、まともにやると少しメンドイ。
f(x) = x^5 - 1
とおくと
f'(x) = 5x^4
A = x-α^0, B = x-α^1, C = x-α^2, D = x-α^3, E = x-α^4
とおくと
f(x) = ABCDE
log(ABCDE) = log(A) + log(B) + log(C) + log(D) + log(E)
両辺をxで微分すると
f'(x)/ABCDE = 1/A + 1/B + 1/C + 1/D + 1/E
元に戻して
f'(x)/f(x) = 1/(x-α^0) + 1/(x-α^1) + 1/(x-α^2) + 1/(x-α^3) + 1/(x-α^4)
f'(2)/f(2) = 1/(2-α^0) + 1/(2-α^1) + 1/(2-α^2) + 1/(2-α^3) + 1/(2-α^4)
= 1 + 与式
与式 = f'(2)/f(2) - 1 = 80/31 - 1 = 49/31
No.89258 - 2024/11/04(Mon) 09:56:41
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Re: 青山大学過去問
/ 黄桃
引用
kitanoの投稿なので無視しようと思っていたが、これを読んで使ってみようという人がいるかもしれないので、老婆心ながらコメントします。
f(x)=x^5-1 の微分が5x^4 であることは問題ないし、
x^5-1=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
(面倒なのでαをaと書いた）
とするところも問題ない。
ただし、
f(x)=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
を積の微分公式を使って微分するところは、厳密には(aは複素数だから複素関数の微分となり）高校数学の範囲を超える。
確かに複素関数の積の微分公式の証明も実数の場合と同様にできるけれども、そもそも変数が複素数の範囲での微分の定義自体が高校の範囲外だから、うるさいことをいえば「微分の公式の乱用」。
積の微分公式を使わずに5x^4がらすかるさんの (★)の分子に等しいことをいうなら問題ない。露骨に計算するなり、xに1,a,a^2,a^3,a^4を代入して両辺を比較するなり、とかすればいえるはず（だが、それなら最初から元の式を計算しろ、ということになりそう）。
＃GandB さんには申し訳ないが、log なんかとろうものなら、
＃複素数のlogはどうとるのか、という問題に直面する。
＃＃なので、その解説は「厳密には大学でやるけど」の前置き
＃＃つきで、大学入試では使えない技、というべき。
No.89261 - 2024/11/06(Wed) 00:11:19
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Re: 青山大学過去問
/ GandB
引用
> f(x)=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
> を積の微分公式を使って微分するところは、厳密には
> (aは複素数だから複素関数の微分となり）高校数学の範囲を超える。
> log なんかとろうものなら、
> 複素数のlogはどうとるのか、という問題に直面する。
いやいや、申し訳ない。
まことにその通りで実に軽率な投稿でした。
削除したほうがいいと思うが、反面教師的投稿として（自戒も込めて）しばらくそのまましておく。
No.89262 - 2024/11/06(Wed) 07:22:03
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Re: 青山大学過去問
/ Higashino
引用
今回は様々な方にご意見 指導いただきありがとうございました
今後とも、何卒よろしくお願いいたします
私は今回のこの考え方は、あまりに難しく平凡な返答とはなりましたが、投稿させていただきます。ご指導等あれば何卒よろしくお願いいたします。
No.89263 - 2024/11/06(Wed) 07:31:29
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Re: 青山大学過去問
/ IT
引用
地道に計算してみました。途中計算や記述を減らすために工夫はしています。（結果が分かっているから出来たのかも）
1/(2-α)+1/(2-α^2)+1/(2-α^3)+1/(2-α^4)
第１項と第４項、第２項と第３項をペアにし通分すると
＝(4-α-α^4)/(5-2α-2α^4)+(4-α^2-α^3)/(5-2α^2-2α^3)…（１）
α^4+α^3+α^2+α+1=0なので、
a=α+α^4とおくとα^2+α^3=-a-1
これを(1)に代入
与式=(4-a)/(5-2a)+(5+a)/(7+2a)
通分すると
＝(53-4a-4a^2)/(35-4a-4a^2)
ここでa^2+a=(α^4+α)^2+α^4+α
=α^8+2α^5+α^2+α^4+α
α^5=1なので
=α^3+2+α^2+α^4+α
=α^4+α^3+α^2+α+1+1
=1
よって
与式＝(53-4)/(35-4)=49/3
HIGASHINO さんの解法でα^4=1/αなどととしておられるところを そのままα^4 と書いたという感じですね。
No.89270 - 2024/11/07(Thu) 20:44:45
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Re: 青山大学過去問
/ Higashino
引用
IT先生、こんばんは
ご回答ありがとうございました
先生の方がスマートで良いですよね
色々と学び点が多くありがとうございました
これからも何卒よろしくお願いします
No.89277 - 2024/11/09(Sat) 20:03:47
