これを証明してほしいです。(できれば高校数学の範囲で)
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No.89264 - 2024/11/06(Wed) 23:12:56
| ☆ Re: / ast | | | # 積の記号 Π を使っておいて高校範囲もあったものではないようなきがしなくもないが, 以下のような感じか?
記号が面倒なので示すべき等式の左辺をいま仮に prod(x,n) と書く (ついでに組合せの数も C[n,k] のように添字は右側にまとめて書く) ことにするが:
いま x prod(x,n+1) = prod(x+1,n) および (x+n+1)prod(x,n+1) = prod(x,n) に注意すれば, prod(x,n+1) の部分分数分解が
prod(x,n+1) = (prod(x,n) − prod(x+1,n))/(n+1) …(A)
で与えられることが確認できる.
所期の等式が成り立つ非負整数 n に対して, (A) の右辺を等式の右辺で置き換えれば
prod(x,n+1)
= (1/(n+1))(1/n!) Σ_[k=0,…,n] (−1)^k C[n,k]/(x+k)
− (1/(n+1))(1/n!) Σ_[j=0,…,n] (−1)^j C[n,j]/(x+1+j)
= (1/(n+1)!) Σ_[k=0,…,n] (−1)^k C[n,k]/(x+k)
+ (1/(n+1)!) Σ_[k=1,…,n+1] (−1)^(k+1) C[n,k−1]/(x+k)
= (1/(n+1)!) ( (−1)^0 C[n,0] / (x+0)
+ Σ_[k=1,…,n] (−1)^k (C[n,k]+C[n,k−1])/(x+k)
+ (−1)^(n+1) C[n,n] /(x+n+1)),
ここで, 組合せの数は "任意の n,k に対して C[n+1,k]=C[n,k]+C[n,k−1]" および "任意の n に対して C[n,0]=C[n+1,0], C[n,n]=C[n+1,n+1]" を満たすから, 結局
prod(x,n+1) = (1/(n+1)!) Σ_[k=0,…,n+1] (−1)^k C[n+1,k]/(x+k)
となり, これは所期の等式が n+1 に対しても成り立つことを意味する.
n=0 のときは示すべき等式は自明だから, 帰納法により任意の非負整数 n について所期の等式は正しい.
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No.89266 - 2024/11/07(Thu) 06:23:16 |
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