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記事No.89285に関するスレッドです
★ 証明です / 理科大
理科大の公募制です。
模範解答がないので是非よろしくお願いします。
No.89285 - 2024/11/11(Mon) 15:59:11
☆ Re: 証明です / ヨッシー
まず (iii) から。
ＡＰとＢＣの交点をＤ、ＢＰとＣＡの交点をＥ、ＣＰとＡＢの交点をＦとします。
△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢの面積から、
　ＢＤ：ＤＣ＝γ：β
　ＣＥ：ＥＡ＝α：γ
　ＡＦ：ＦＢ＝β：α
とわかり、さらに、６つの小さい三角形の面積は、右の図のようになります。
※左の図の辺上のα、β、γは辺の比を表すもので、実際の長さではありません。
　右の図の分数は、実際の面積です。
このとき、点Ｐは、ＢＣをγ：βに内分する点をＤとするとき、
ＡＤをβ：αβ/(β＋γ)＝(β＋γ)：α に内分する点、となります。
　ＯＤ＝(βＯＢ＋γＯＣ)/(β＋γ)
　ＯＰ＝{αＯＡ＋(β＋γ)ＯＤ}/(α＋β＋γ)
　　＝(αＯＡ＋βＯＢ＋γＯＣ)/(α＋β＋γ)
と表せ、等式(1)は成り立ちます。
No.89292 - 2024/11/12(Tue) 07:16:44
☆ Re: 証明です / ヨッシー
(i)です。
上の図のＤ，Ｅ，Ｆを使うと、角の二等分線の定理より、
　ＢＤ：ＤＣ＝ｃ：ｂ
　ＣＥ：ＥＡ＝ａ：ｃ
　ＡＦ：ＦＢ＝ｂ：ａ
より、ａ：ｂ：ｃ＝α：β：γ　が成り立ちます。
０以外の実数ｋについて
　α＝ｋａ、β＝ｋｂ、γ＝ｋｃ
とおいて、(1) に代入すると
　ＯＩ＝(ａＯＡ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣ)/(ａ＋ｂ＋ｃ)
を得ます。
No.89293 - 2024/11/12(Tue) 09:02:42
☆ Re: 証明です / ヨッシー
(ii)です。
外接円の半径をｒとすると
　α＝△ＪＢＣ＝(1/2)ｒ2sin∠ＢＪＣ
　β＝△ＪＣＡ＝(1/2)ｒ2sin∠ＣＪＡ
　△ＪＡＢ＝(1/2)ｒ2sin∠ＡＪＢ
また、円周角の性質より
　∠ＢＪＣ＝２Ａ
　∠ＣＪＡ＝２Ｂ
　∠ＡＪＢ＝２Ｃ
さらに、正弦定理より
　２ｒ＝ａ/sinＡ＝ｂ/sinＢ＝ｃ/sinＣ
以上より
　α＝(1/2)ｒ(ａ/２sinＡ)sin(2A)
　　＝ｒ(ａ/２sinＡ)sinＡcosＡ
　　＝(r/2)ａcosＡ
同様に
　β＝(r/2)ｂcosＢ
　γ＝(r/2)ｃcosＣ
これらを(1) に代入すると
　ＯＪ＝{(ａcosＡ)ＯＡ＋(ｂcosＢ)ＯＢ＋(ｃcosＣ)ＯＣ}/(ａcosＡ＋ｂcosＢ＋ｃcosＣ)
を得ます。
No.89294 - 2024/11/12(Tue) 09:34:59
☆ Re: 証明です / 理科大
ありがとうございます！勉強になりました！
No.89295 - 2024/11/12(Tue) 09:45:24
☆ Re: 証明です / 黄桃
小論文の出題意図がよくわかりませんが、(ii)で、△ABCが、直角三角形や鈍角三角形の場合も含んでいるのだとすると、Jは△ABCの内部にあるとは限らないので、注意が必要かと思います。

どうすればいいか、に対して、うまい考えはないのですが、
鋭角三角形でない場合は、∠Aが鈍角または直角としてよく、その場合は△BPCの面積が0または負と考えるように拡張して(1)を証明する、
というのも１つの解ではないでしょうか。
拡張した(1)の証明も、ほとんど同様にできると思いますが、PがBC上、あるいはBCの下側(直線BCに関してAと反対側)に来る場合も考慮して記述しないといけません。

＃外心の場合をわざわざ例示しているので、もしかすると
＃このことに気づくかどうか、気づいたときにどう判断するか、
＃が出題意図なのかも。万一そうだとすると、かなり意地悪ですが
＃システム工学では、例外処理が重要ということなのかもしれません。
No.89304 - 2024/11/13(Wed) 06:49:24
☆ Re: 証明です / ヨッシー
>黄桃さん
この問題の場合は、「鋭角三角形ＡＢＣ」とあるので、その点は問題ないかと思います。
No.89306 - 2024/11/13(Wed) 08:20:04
☆ Re: 証明です / 黄桃
失礼しました。私の目が節穴でしたね。

＃小論文にするほどの問題なら、と邪推しすぎました。
No.89309 - 2024/11/13(Wed) 22:35:51