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記事No.89302に関するスレッドです
★ 明治大学過去問 / Higashino
明治大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89276 - 2024/11/09(Sat) 15:41:21
☆ Re: 明治大学過去問 / X
z[1]z[2]=-1 (A)
(z[1]^2)/z[2]=i (B)
とします。

(A)×(B)より
z[1]^3=-i
これより
z[1]^3=cos(3π/2)+isin(3π/2)
∴z[1]=cos(π/2)+isin(π/2),cos(π/2+2π/3)+isin(π/2+2π/3)
,cos(π/2+4π/3)+isin(π/2+4π/3)
z[1]=cos(π/2)+isin(π/2),-sin(2π/3)+icos(2π/3)
,-sin(4π/3)+icos(4π/3)
z[1]=i,(-√3-i)/2,(√3-i)/2 (C)
ここで(A)(B)の両辺の絶対値を取ることにより
|z[1]|=|z[2]|=1
更に(A)より
z[2]=-1/z[1]
∴zの共役複素数を\zと書くことにすると、
z[2]=-\z[1] (D)
(C)(D)より
(z[1],z[2])=(i,i),(-(√3+i)/2,(√3-i)/2),((√3-i)/2,-(√3+i)/2)
No.89279 - 2024/11/10(Sun) 17:42:48
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
x先生、おはようございます

なんだかお久しぶりです

ご回答ありがとうございました

先生の考え方の方がずっとスマートなのですが

私なりの答案も作成しましたので

ご指摘アドバイスいただけると幸いです


以下答案
No.89280 - 2024/11/11(Mon) 09:55:30
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
いただいた回答で
質問があります

教えてください

>zの共役複素数を\zと書くことにすると、
z[2]=-\z[1] (D)

z[2]=a+bi と置くと z[1]はどのように表されるのでしょうか？

教えてください

何卒よろしくお願いいたします
No.89282 - 2024/11/11(Mon) 10:56:42
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
・zの共役複素数を\zと書く
・z[2]=-\z[1]
としたとき
z[2]=a+bi ならば
-\z[1]=a+bi
\z[1]=-a-bi
z[1]=-a+bi
のようになると思います。
No.89284 - 2024/11/11(Mon) 13:10:12
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生

ご回答ありがとうございます

的外れな質問かもしれませんが

z[1],z[2]は共役な関係なんでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします
No.89286 - 2024/11/11(Mon) 16:48:29
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
z[1]と-z[2]が共役ですから、z[1]とz[2]は共役ではありません。
No.89287 - 2024/11/11(Mon) 17:58:40
☆ Re: 明治大学過去問 / X
No.89280の添付写真について。

方針の流れに問題は無いのですが
指数の比較で、〇A"と〇B"を導く点について。
〇A"と〇B"の右辺の第二項ですが、パラメータは
独立していますので、一方を
2nπ
とするのであれば、他方は例えば
2mπ(mは整数)
とする必要があります。
No.89288 - 2024/11/11(Mon) 19:11:11
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生
おはようございます

教えてもらいたいことがありますのでよろしくお願いいたします

いただいた回答で

>z[1]と-z[2]が共役

とあるのですが　条件から　z[1]と-z[2]が共役までの過程を教えてください

全く理解できませんので、詳しく教えていただけると幸いです

お忙しいところ申し訳ありませんが

何卒よろしくお願いいたします
No.89289 - 2024/11/12(Tue) 05:23:30
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
x先生
おはようございます

貴重なご指摘ありがとうございました

こうやってご指摘いただける事は本当に嬉しいです

これからも何卒よろしくお願いいたします

今回はありがとうございました
No.89290 - 2024/11/12(Tue) 05:25:07
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
> いただいた回答で
> >z[1]と-z[2]が共役
> とあるのですが　条件から　z[1]と-z[2]が共役までの過程を教えてください
> 全く理解できませんので、詳しく教えていただけると幸いです

Xさんの回答にある通り
> z[1]z[2]=-1 (A)
> (z[1]^2)/z[2]=i (B)
> ここで(A)(B)の両辺の絶対値を取ることにより
> |z[1]|=|z[2]|=1
> 更に(A)より
> z[2]=-1/z[1]
> ∴zの共役複素数を\zと書くことにすると、
> z[2]=-\z[1] (D)
ですが、この中でどこがわかりませんか？
No.89297 - 2024/11/12(Tue) 11:28:44
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、こんにちは

解決しました

念のため確かめてもらえると幸いです

以下答案
No.89298 - 2024/11/12(Tue) 14:57:38
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
# ○にA,B,Cは書けませんのでＡ,Ｂ,Ｃと書きます。

・「a=0,b=1」と「a≠0,b≠1」という場合分けはすべての場合を尽くしていませんので問題があると思います。
（というか、その場合分けは不要では？）

・(1±3)/4 と (1-3)/4 をイコールで結ぶのは問題があると思います。（後に∵b≠1と書いてあるから良いということにはなりません）

・故にの後にＣは書かない方が良いと思います。

・あと、z1をzと書き間違えている箇所が多数あります。

z1=a+biとおいて解答を作るなら
ＣをＢに代入してa^2-b^2+b+a(2b+1)i=0
∴a^2-b^2+b=0…(1), a(2b+1)=0…(2)
(2)から a=0 または b=-1/2
a=0 のとき (1)に代入してb=0,1だがb=0はz1z2=-1を満たさず不適なのでb=1
b=-1/2 のとき（以下略）
のように進めた方が簡単かと思います。
No.89300 - 2024/11/12(Tue) 15:59:00
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、こんばんは
　
返信が遅くなり申し訳ございませんでした

ありがとうございます

ご指摘は本当に嬉しいことです

先生の言われる通り　もう一度書き直します

その際は再度またご指摘ください

何卒よろしくお願いいたします
No.89301 - 2024/11/13(Wed) 00:12:42
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、おはようございます

先生の言われた通りにやってみたら　計算がずいぶん楽になりました

ありがとうございます

まだ答案に不安がありますので、ご指摘いただければ幸いです

以下答案
No.89302 - 2024/11/13(Wed) 05:03:14
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
b=-1/2のときにa^2+b^2-1=0を使って出したaの値は○１に代入して確認する必要があります。
例えば○２から出たa=0のときにこれをa^2-b^2+b=0でなくa^2+b^2-1=0に代入して
b=±1とするとb=-1は○１を満たさず不適解ですよね。
b=-1/2の場合は「たまたま」適解しか出てきませんが、a^2-b^2+b=0を
満たすことの確認が必要です。（「これは○１を満たす」の一文でもOK）
a=0の場合は「（∵Ａ）」と書いてありますのでかろうじてOKですが、こちらも
「a=0のとき、Ａからb=±1、○１からb=0,1なのでb=1…○３」
ぐらいの方が「∵Ａ」の中身が明確になって良いと思います。

あと、「a=±√3/2=干√3/2」というのは
+√3/2=-√3/2 かつ -√3/2=+√3/2
という意味になってしまって正しくありません。
a=+√3/2のとき(z1,z2)=(√3/2-i/2,-√3/2-i/2)、
a=-√3/2のとき(z1,z2)=(-√3/2-i/2,√3/2-i/2)
なのですから、a=±√3/2だけで十分です。
No.89303 - 2024/11/13(Wed) 06:37:24
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、おはようございます

答えの書き方まで、親切の教えてくださり、心から感謝いたします

ここから先は、私でも出直してきますので、正しい答案を自分で作っておきます

これからも色々と教えてください

今回は最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.89305 - 2024/11/13(Wed) 06:50:26