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記事No.89312に関するスレッドです
★ 岡山大学過去問 / Higashino
岡山大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
　
No.89312 - 2024/11/16(Sat) 13:26:28
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
(1)
条件から
|w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
(不等号の下の等号は
a|z|^2=b|z|=c (B)
のとき成立)
ここで
f(x)=ax^2+bx+c (0≦x≦1 (C))
を考えると、a,b,cが正数であることから
y=f(x)のグラフは
軸がx＜0の領域にある下に凸の放物線
∴f(x)は(C)において単調増加 (D)
(A)(B)(D)から
∴|w|≦f(|z|)≦f(1)=a+b+c=1
(不等号の下の等号は、(B)かつ|z|=1
、つまりa=b=c=1/3のとき成立)

(2)
(1)の過程から、|w|=1のとき
|z|=1
∴求めるzの値は
z=cosθ+isinθ
(θは任意の実数)
No.89313 - 2024/11/16(Sat) 13:57:44
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> (1)
> 条件から
> |w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
> (不等号の下の等号は
> a|z|^2=b|z|=c (B)
> のとき成立)

なぜ、(B)のとき等号が成立すると言えますか？
例えば a=b=c=1/3 ,z=i のとき(B)が成立しますが
w=i/3 となり不等号の下の等号は成立しません。
複素数の三角不等式について勘違いをしておられるようです
No.89314 - 2024/11/16(Sat) 19:18:00
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higashinoさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通り
(B)が間違っています。
それに伴って、大幅な修正が必要ですので
改めて回答をアップします。

(1)
条件から
|w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
(不等号の下の等号は
az^2=bz=c (B)
のとき成立)
ここで
f(x)=ax^2+bx+c (0≦x≦1 (C))
を考えると、a,b,cが正数であることから
y=f(x)のグラフは
軸がx＜0の領域にある下に凸の放物線
∴f(x)は(C)において単調増加 (D)
(A)(B)(D)から
∴|w|≦f(|z|)≦f(1)=a+b+c=1 (E)

ここで(B)と
|z|=1
a+b+c=1
を連立して解くと
(a,b,c,z)=(1/3,1/3,1/3,1)
∴(E)の２つの不等号の下の等号が
同時に成立する条件は存在するので
|w|≦1

(2)
(1)の過程から、|w|=1のとき
z=1
No.89316 - 2024/11/16(Sat) 21:17:15
☆ Re: 岡山大学過去問 / Higashino
^_^こんにちは

ご回答ありがとうございます

私は複素数の三角不等式を用いて解きました

　ご指導ご指摘のほどよろしくお願いいたしま

以下答案
No.89320 - 2024/11/17(Sun) 03:19:28
☆ Re: 岡山大学過去問 / Higashino
^_^
補足2

1部間違っておりました

三角不等式の等号が成り立つ時です

失礼しました

何卒よろしくお願いいたします
No.89321 - 2024/11/17(Sun) 03:33:58
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> (1)
> 条件から
> |w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
> (不等号の下の等号は
> az^2=bz=c (B)
> のとき成立)
不等号の下の等号はzが負でない実数なら成立するのでは？
No.89324 - 2024/11/17(Sun) 09:13:42
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
z,w,uを複素数とするとき
|z+w+u|≦|z|+|w|+|u|
(等号成立はz=w=uのとき)
であることをそのまま使ったのですが。
(B)で済ませたのが、計算がやり足りなかった
ということでしょうか？
No.89329 - 2024/11/17(Sun) 17:12:05
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> z,w,uを複素数とするとき
> |z+w+u|≦|z|+|w|+|u|
> (等号成立はz=w=uのとき)
> であること
間違いです。 反例|1+2+3|＝|1|+|2|+|3|。

等号成立はarg(z)=arg(w)=arg(u)のとき の間違いでは？
（z=0などの場合は除いて）
No.89330 - 2024/11/17(Sun) 17:32:22
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higashinoさんへ
こめんなさい。ITさんの仰る通りです。

Higashinoさんが既にNo.89320で正しい解答を
出されていますので、修正した回答は
控えさせていただきます。
No.89376 - 2024/11/20(Wed) 17:32:14