[ 掲示板に戻る ]
記事No.89388に関するスレッドです
★ (No Subject) / 有栖川
両方とも真だと思うのですが、どうやったら示せるのか分かりません。解説して頂けますか？
No.89388 - 2024/11/23(Sat) 17:09:06
☆ Re: / IT
何年生ですか？
有界な単調数列は収束列である。という定理を使って良いですか？
この定理の証明が必要ですか？
No.89389 - 2024/11/23(Sat) 18:16:58
☆ Re: / 有栖川
高３です。大学数学は全然理解していません。
No.89390 - 2024/11/23(Sat) 18:20:37
☆ Re: / 有栖川
高校数学範囲で説明できるならお願いしたいです。
No.89391 - 2024/11/23(Sat) 18:23:27
☆ Re: / IT
極限を扱う場合は、厳密な議論が必要なので「高校範囲で説明」は、私には出来そうもありません。
参考までに、上記の大学１年レベルの定理は、既知として書いておきます。

１　Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜β+1

・・・

したがって、数列a[n]は、単調増加で上に有界なので収束する。

２　Lim(n→∞) a[n]=αとおく。
　自然数Nがあってn≧Nならば　 α-0.1＜a[n]＜α+0.1…(1)
　任意の自然数mについて a[N+m] はa[N] 以上の自然数（帰納法で証明）
　(1)よりα-0.1＜a[N]≦a[N+m] ＜α+0.1
　α-0.1とα+0.1の 間には、たかだか１つの自然数しかないのでa[N]=a[N+m]
　
　よってn≧Nならばa[n]=a[N]
　・・・
No.89392 - 2024/11/23(Sat) 18:51:38
☆ Re: / IT
下記でどうでしょうか？　２も下記の途中からを少し書き換えるだけです。

Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
β+１以上の最小の自然数をMとする。
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜M
数列a[n]は、単調増加なので　任意の自然数nについて　a[n]＜M

すなわち,任意の自然数nについて a[n]≦L となる自然数Lが存在する。

このような自然数Lのうち最小のものが存在する。これをAとする。
このとき　自然数mが存在して,a[m]=A である。（要証明）
m≦n について、A=a[m]≦a[n]≦A なので　a[n]=A である。

したがってLim(n→∞) a[n]=A
No.89393 - 2024/11/23(Sat) 20:31:11
☆ Re: / 有栖川
なるほどありがとうございます。自分が正しく理解できているかの確認なのですが、

β+1でなくてもβ+0.01などでも構わないという事ですか？

Nは十分大きいNに対してという事ですか？
No.89394 - 2024/11/23(Sat) 22:03:35
☆ Re: / 有栖川
εN論法を高校数学的に書き換えたという感じでしょうか？
No.89395 - 2024/11/23(Sat) 22:04:56
☆ Re: / IT
そうですね
No.89397 - 2024/11/24(Sun) 08:47:42