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記事No.89405に関するスレッドです
★ 東北大学過去問 / Higashino
東北大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89405 - 2024/11/25(Mon) 23:39:42
☆ Re: 東北大学過去問 / X
以下、複素数を対応する複素平面上の点に対する
位置ベクトルとして扱うものとします。
つまり、例えば
点T(a)(aは複素数)
とすると
↑OT=a

(1)
Q(w)とすると、条件から
w=↑OP+↑OA
=z+(1+i√3)
∴z=w-(1+i√3)
これを
|z+2|=1
に代入すると
|w-(-1+i√3)|=1 (A)
よって点Qの軌跡は
点(-1+i√3)を中心とする半径1の円

(2)
R(r)、線分OQの中点をUとし、
(1)と同じwを使うと、条件から
r=↑OU+↑UR
=(1/2)↑OQ±{(√3)/2}i↑OQ
={(1±i√3)/2}w
∴w={(1干i√3)/2}r (複号同順、以下同じ)
これを(A)に代入すると
|{(1干i√3)/2}r-(-1+i√3)|=1
これより
|r-(-1+i√3){(1±i√3)/2}|=|{(1±i√3)/2}|
∴
|r+2|=1
又は
|r-(1+i√3)|=1
よって点Rの軌跡は
点(1+i√3),(-2)を中心とする半径1の2つの円
No.89410 - 2024/11/26(Tue) 18:05:56
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、お久しぶりです

この日が待っておりました

おはようございます

いただいた回答ですが　先生の計算ミスでしょうか？　若干正解と異なるようです。

以下、私の答案です

ご指摘アドバイスなどをいただければ光栄です

以下答案
No.89417 - 2024/11/27(Wed) 07:46:51
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
追伸

ベクトルORはベクトルOQを原点の周りに60度またはマイナス60度回転したものです
No.89423 - 2024/11/27(Wed) 08:20:28
☆ Re: 東北大学過去問 / X
ごめんなさい。No.89410で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

それでNo.89417について。
(1)は問題ないのですが、(2)の論理の展開の仕方が
おかしいです。
((1)(2)共に答えは正しいですが。)
そもそも、円円対応であることが分かっているのであれば
条件から

点Rの軌跡の円の中心は、
点Q[0]を原点中心で±π/3だけ回転移動させたもの

となることが分かりますので、P[0],Aを持ち出す必要がありません。
(単にQ[0]の移動先がたまたまP[0],Aが重なっただけ)
私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。
No.89427 - 2024/11/27(Wed) 19:20:48
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

本日もよろしくお願いいたします

先生のご指摘ですが

> 私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。


原点を通らない円の移動は、原点を通るない円の移動になるのですが

それは必ずしも合同変換なのでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします
No.89437 - 2024/11/28(Thu) 08:00:12
☆ Re: 東北大学過去問 / X
今回の場合は回転移動だったので、合同変換でしたが
一般の場合は合同変換とは限りません。

反例)
|z-1|=2 (A)
は原点を通らない円です。
(A)に対し
w=z/2
なる変換を考えると
|2w-1|=2
∴|w-1/2|=1 (B)
(B)は(A)とは異なる半径の円です。
No.89442 - 2024/11/28(Thu) 20:31:40