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記事No.8976に関するスレッドです

正四面体 / haru
初めまして。次の問題が解けずに困っているのでアドバイスをお願いします。


【問】
正四面体ABCDの内部に一点Pをとり、面BCD、ACD、ABD、ABCにPから下した垂線の足をH、I、J、Kとし、PH,PI,PJ,PKの長さをそれぞれp,q,r,sとします。
以下の条件を考慮します。
(i)PH,PI,PJ,PKを直径とする球はどれも正四面体の内部or辺に含まれる。
(ii)p≦q≦r≦s
(1) (i)かつ(ii)のとき、s/pの取りうる範囲を求めてください。
(2) (i)かつ(ii)を満たすPの動きうる体積は正四面体ABCDの体積の何倍でしょうか?また、それは「(i)のみ」を満たす場合のPの動きうる体積の何倍でしょうか?


(1)はおそらくp=q=r=sのときが最小で、最大は線分PKが直径を成す球が四面体の内接球である時が最大ではないかと踏みましたが、議論ができずに悩んでいます。(2)も方針が立っていません。

ちなみに、四面体の1辺の長さは具体的には記されていません。

恐縮ですが、もう一つのサイトにも同じ質問をさせてもらいました。そこで解決した場合、直ちに知らせます。マルチポストで心苦しいですが、助言をいただければと思います。

No.8971 - 2009/11/23(Mon) 12:54:17

Re: 正四面体 / ヨッシー
まず、△ABCに接する球が、△BCDにギリギリ接する時の
球の中心を考えると、図のBCGを通る平面になり、これよりも
下(△ABCを含む側。平面上は含む)にあれば△BCDを含む平面を
超えることはありません。
GはDKを3:1に内分する点で、正四面体ABCDの重心です。

点Pは直径の端点なので、DKの中点をMとした時、BCMを通る
平面よりも下にあればいい事になります。
△ABCと△ABD,△ABCと△ACDについても同様に考えると、
△ABCに接する球が、正四面体ABCDの外に出ないためには、
点Pが四面体M−ABCの内部にあればいいことになります。

同様のことを△BCD、△CDA、△DABに接する球を考えると、
4つの四面体に共通に含まれる部分が条件(i)のみのときの点Pの存在範囲になります。

(1)
2番目の図(次の記事に載せます)で、s/p は左下の点(B,C共通の点)から出た
直線の傾きが最大の時に最大となります。
最大は点Tを通る時で、s/pは3になります。
最小は、p=q=r=s の時の1です。
 1≦s/p≦3

(2)
最初の図のBCGを通る平面で、p<s の領域とp>s の領域に分かれます。
正四面体の1つの辺を通って、正四面体の体積を2等分するような平面は
4つ描けますが、それらによって、正四面体および、(i)の条件だけの
点Pの存在領域は、24等分されます。
そのうちのひとつが、
 p≦q≦r≦s
の領域であるので、(ii)が入ると、体積は1/24になります。

体積は一旦割愛します。

No.8975 - 2009/11/23(Mon) 14:08:58

Re: 正四面体 / ヨッシー
2番目の図です。
No.8976 - 2009/11/23(Mon) 14:09:30

Re: 正四面体 / haru
返信ありがとうございます。

添付してくださった図は、BCの中点をMとして、三角形DAMで切った切り口から見てる(つまり左右対称に分断してその切り口から見ている)、と理解すればよろしいのでしょうか。


(1)の前の説明はよくわかりました。

(1)の部分の説明で二つ目の図のS、Tの部分の説明をいただければと思います。またTを通る場合ですと、sの方がpより小さいような気がするのですが・・・
申し訳ありませんが、説明お願いします。

No.8981 - 2009/11/23(Mon) 15:09:03

Re: 正四面体 / ヨッシー
切り口から見ると考えて問題ないです。
球ごと切ったという感じですね。

下の方の図は、AとDを逆に見てください。
あるいは、TはDの真下で、青い部分に最初にぶつかる部分と
考えてください。とにかく、pとsが逆です。

Sは、△BCDの重心に当たる点で、TはASの中点です。

No.8987 - 2009/11/23(Mon) 21:43:27