関数y=sinθ+cosθ+sin2θについて、次の問いに答えなさい。
(1)sinθ+cosθ=tとおく。yをtで表しなさい。
(2)0≦θ<2πのとき、yのとりうる範囲を求めなさい。
についてです。
(1)は分かりました。
sin2θ=2sinθcosθを利用してy=(t^2)+t-1になります。
質問したいのは(2)です。
yの範囲を求めやすくする為にsinθ+cosθ=(√2)sin{θ+(π/4)}を利用して
t=sinθ+cosθ=(√2)sin{θ+(π/4)}
ここで、0≦θ<2πより、(π/4)≦θ+(π/4)<2π+(π/4)であるから
-1≦sin{θ+(π/4)}≦1
-√2≦(√2)sin{θ+(π/4)}≦√2
∴ -√2≦t≦√2
よって、y=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)より
-(5/4)≦y≦{(√2)^2}+(√2)-1
-(5/4) ≦y ≦(√2)+1 ◻︎
よっての後を計算してたとき、私はy=(t^2)+t-1に(-√2),(√2)を入れて答えは
1-√2≦y≦(√2)-1だと思いました。解答を見たとき、急にy=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)が出て来てどこから出て来たのかと思ったら(1)のy=(t^2)+t-1をy=(t^2)+t-1を平方完成したものだと気付きました。グラフを見ると確かに-(5/4)が最小値でしたが、私は正直、この問題が初見だとすると気付かない様な気がします。グラフを書こうにも複雑すぎて私には書けるかどうか…。
ややこしいですが私が分からなかったのは途中式ではなく、なぜ最小値がy=(t^2)+t-1を平方完成してy=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)にすれば求められる、という考え方です。
長文すみません。
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No.89797 - 2025/01/22(Wed) 00:31:49
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