二次曲線 005 三重大学過去問
何卒よろしくお願いします
以下問題
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No.89806 - 2025/01/24(Fri) 03:11:18
| ☆ Re: 二次曲線 / X | | | 問題の長方形の頂点のうち、第1象限にあるものを
P(X,Y)(X＞0かつY＞0(P))
とします。
(1)
条件のとき、まず周の長さについて
4(X+Y)=16 (A)
次に点Pが問題の楕円上にあることから
(X^2)/25+(Y^2)/3=1 (B)
(P)に注意して(A)(B)を連立して解くと
(X,Y)=(5/2,3/2)
∴求める２辺の長さは
横の長さが5,縦の長さが3
(2)
周の長さをL(L＞0)とすると
L=4(X+Y)
∴問題は直線
L=4(x+y) (C)
が楕円
(x^2)/25+(y^2)/3=1 (B)'
が交点を持つときのLの最大値とそのときの交点の座標を
求めることに帰着します。
さて、(C)はY切片がL/4の直線になりますので
(C)が(B)'と第１象限で接するときにLは最大となります。
ここで、この接するときの接点の座標をP'(a,b)とすると、
(a^2)/25+(b^2)/3=1 (D)
又、P'における接線の方程式は
ax/25+by/3=1 (E)
(C)(E)は等価ですので、係数の比について
a/25:b/3:1=4:4:L
これより
1/L=a/100=b/12
(a,b)=(100/L,12/L) (F)
これを(D)に代入して
400/L^2+48/L^2=1
L^2=448
∴L=8√7
(F)に代入して
(a,b)=(25/(2√7),3/(2√7))
∴求める最大値は8√7、この時の長方形の頂点の座標は
(±(25/14)√7,±(3/14)√7) (複号任意)
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No.89811 - 2025/01/25(Sat) 11:34:14 |
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