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記事No.89820に関するスレッドです
★ 二次曲線 / Higashino
二次曲線 過去問一橋大学

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89820 - 2025/01/26(Sun) 13:44:29
☆ Re: 二次曲線 / X
x^2+4y^2-4x+8y+4=0 (A)
とします。

条件の直線を
y=x+k (B)
と置いて(A)に代入すると
x^2+4(x+k)^2-4x+8(x+k)+4=0
これより
5x^2+(8k+4)x+4k^2+8k+4=0 (C)
条件から、(C)は異なる二つの実数解を
持たなければならないので,
解をα、β、解の判別式をDとすると
解と係数の関係から
α+β=-(8k+4)/5 (D)
αβ=(1/5)(4k^2+8k+4) (E)
D/4=(4k+2)^2-5(4k^2+8k+4)＞0 (F)
(F)より
(2k+1)^2-5(k^2+2k+1)＞0
-k^2-6k-4＞0
∴-3-√5＜k＜-3+√5 (F)'
一方、(A)によって(B)から切り取られる
線分の長さの二乗をf(k)とすると
f(k)=(1/2)(β-α)^2
=(1/2)(α+β)^2-2αβ
=(8/25)(2k+1)^2-(2/5)(4k^2+8k+4) (∵)(D)(E)を代入
=(8/25)(2k+1)^2-(8/5)(k^2+2k+1)
=(8/25){(2k+1)^2-5(k^2+2k+1)}
=-(8/25)(k^2+6k+4)
=-(8/25)(k+3)^2+8/5 (G)
(F)'(G)からf(k)はk=-3のとき、最大値8/5を取るので
求める最大値は(2/5)√10

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.89821 - 2025/01/26(Sun) 17:15:12
☆ Re: 二次曲線 / Higashino
ｘ先生
今日は
ご回答ありがとうございます
私は次のように考えました
ご指摘アドバイスなどありましたらよろしくお願いいたします
No.89822 - 2025/01/26(Sun) 20:34:33
☆ Re: 二次曲線 / X
方針そのものに問題はないと思います。
(A)から(A)'を考えるのはうまい方法ですね。
只、(補1)でlの増減を示したことになるかどうかは
曖昧さが残る点です。

(補1)を描くのであれば
u=X
v=2Y
と置いて、
(直線の式もu,vで置き換えます)
直線が原点を通るときに円
(楕円ではありません)で切る部分
の長さが最大になることを示した後
にX,Yを元に戻す、という操作を
具体的に数式で詰めて書いたほうが
いいでしょう。
No.89824 - 2025/01/27(Mon) 06:30:07