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記事No.89925に関するスレッドです
★ (No Subject) / Higashino
極限 021 識者の方 私の間違いと正しい方向性を教えてください

何卒よろしくお願いします

以下問題と答案 質問


画像拡大リンク先
https://imgur.com/a/NOkQ8CA
No.89925 - 2025/02/09(Sun) 06:42:48
☆ Re: / X
添付写真1行目で通分する際に2が分子全体に
かかっているのが誤りです。
2はΣの前にしかかかりません。
又、2行目でも、
n→∞のとき分母→0
となることを忘れています。

以上の2点を修正して、計算すれば
0/0の不定形になってしまい、
その方針では計算できないことが
わかります。

で、方針ですが、Σの公式を使いましょう。
(与式)=lim[n→∞]{(1/2)n(n+1)/(n+2)-n/2}
=lim[n→∞]{(1/2)n{(n+1)-(n+2)}/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)n/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)/(1+2/n)}
=-1/2
No.89926 - 2025/02/09(Sun) 07:24:30
☆ Re: / Higashino
先生早速のご回答ありがとうございます

>2はΣの前にしかかかりません。

次の変形は間違いでしょうか
No.89927 - 2025/02/09(Sun) 08:29:44
☆ Re: / Higashino
質問を詳しくしました
No.89928 - 2025/02/09(Sun) 08:53:56
☆ Re: / らすかる
Xさんが指摘されているのは
Σ[k=1〜n]k/(n+2) - n/2
を通分して
{2Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
となる（分子の(n+2)nには2は掛かっていない）のに、このΣの前の2を
2{Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
のように前に出しているのは間違い、という意味です。
No.89929 - 2025/02/09(Sun) 10:43:17
☆ Re: / Higashino
次の答案の意味が分かりません
詳しく教えていただけると幸いです

?納k=1,n]k/n+2-n/2 …

=?婆/(n+2)-(n^2+6n+6)/2(n+2) …A

=?婆/(n+2)-[(n+2)(n+3)/2+n/2]/(n+2) …B

=?婆/(n+2)-?婆/(n+2)-n/2(n+2) …C

=(n+2)[∫[0,1]xdx-∫[0,1]xdx]-n/2(n+2) …D

=-1/2


質問

A の ?婆 とはなんなのか
A の (n^2+6n+6)/2(n+2)はどう導かれたのか
BからCの変形
CからDの変形

教えてください何卒よろしくお願いします
No.89934 - 2025/02/10(Mon) 10:04:55
☆ Re: / Higashino
文字化けしました

?納=Σ

です

何卒よろしくお願いします
No.89935 - 2025/02/10(Mon) 10:08:07
☆ Re: / Higashino
下の写真となります
No.89936 - 2025/02/10(Mon) 10:12:53
☆ Re: / X
Higashinoさんが参照されたという答案が
No.89936の添付写真の内容が全て
であるなら、答案というより、答案を
書くための下書きのように見える
のですが。
最終的な答えが正しいだけで、答案としては
×です。

まず、Higashinoさんも質問に出されている
通り、2行目以降のΣのパラメータが
明記されていません。
無論、Σのパラメータが1行目と同じなら
2行目のような変形はできません。

次に4行目から5行目の変形について。
恐らく、区分求積法を使うという意図で
下書きとして5行目の積分が書かれている
と思いますが、こんな変形をしなくても
4行目の二つのΣの項は(パラメータの明記
が同じであれば)相殺されます。
No.89939 - 2025/02/10(Mon) 18:55:27
☆ Re: / IT
なおΣ記号は使わなくても

2(1+2+3+...+n)= n(n+1) は、容易に分かります。（ひっくり返して足す。公式のもとの考え方ですね。）
No.89940 - 2025/02/10(Mon) 19:43:32
☆ Re: / Higashino
最終答案
間違いご意見があれば
何卒よろしくお願いします
No.89946 - 2025/02/11(Tue) 01:33:44
☆ Re: / X
添付写真の答案の3行目の{}の中の二つの
Σ[k=1〜n+2]k/(n+2)
が分母に来ているのが
誤りです。
その他の点に問題ありません。

但し、計算過程に無駄が多いです。
答案2行目の最右辺の時点で、()の
第一項、第二項を打ち消しても極限は
求められるのに、わざわざ残して
いますよね。
続く4行目の{}で区分求積法を
使っていますが、{}の外を含めた
式全体でみると

{}内がnの値にかかわらず0

という条件が付いていなければ、安易に
n→∞としてはいけない式の形です。
({}の外にn+2がかかっているので
{}の中の式によっては不定形になります。)
No.89953 - 2025/02/14(Fri) 19:35:06