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記事No.89942に関するスレッドです
★ 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
高校3年です。

この問題の(2)について教えて頂きたいです。
自分なりに式変形をして、誘導に沿った置換を見つけたものの詰まってしまいました。

この式変形と置換でも、(1)の誘導を使って解く方法はあるでしょうか？また、この状態から誘導を使わずに解いたりは可能でしょうか？
No.89941 - 2025/02/10(Mon) 22:44:57
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
私の式変形はこれです。
No.89942 - 2025/02/10(Mon) 22:45:33
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
ちなみに本の解説はこんな感じでした。
No.89943 - 2025/02/10(Mon) 22:51:04
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast
何が疑問かよくわかりませんが, 質問者さんの計算を信用するとして,
f(x)=(xe^x+e^x)/2 に対する (1) の結果(※) とは, 端的に言えば「
　∫(xe^x+2e^x)sin(x)dx = -(xe^x+e^x)cos(x)/2 + (xe^x+2e^x)sin(x)/2 + C (C は積分定数)
のように計算できるということ」であることは分かりますか?
# (※) (1) の結果の式と言っても, 必要なのは定積分ではなくて不定積分 (定数項が任意定数) の形ですが,
# それは (模範解答も同じことだと思うので) 詰まる要素では無いように感じます.
## つまり, 模範解答は f(x)=(xe^x-e^x)/2 に対する (1) の結果として
##　∫xe^xsin(x)dx = -(xe^x-e^x)cos(x)/2 + xe^xsin(x)/2 + C
## と計算しているわけですから,「同じ」ようにするのは問題にならないはずです.
そしたら提示された答案はもう結論さえ書けば終わりの段階にみえるので, 「詰まった」と言われてもなんだかよく分からない (考えるべきところは (1) がもう既に全部やってくれている) というのが所感です.

あるいは誘導無視でやるなら, 質問者さんのしたように部分積分を二度用いると, 求める積分と同じ形の項が出るのでそれをまとめることにより
　2 ∫ x e^x sin(x) dx = -x e^x cos(x) + (x e^x + e^x) sin(x) - ∫ 2 e^x sin(x) dx
を得て, 右辺の残った積分も同様にして
　2 ∫ e^x sin(x) dx = e^x sin(x) - e^x cos(x)
と計算できるからこれも代入して, あとは整理するだけ, でいいのでは.
# 問題でやっているように, 積分変数 t で区間 [0,x] 上定積分->不定積分という手順を経るべきだろうが,
# それは積分定数に関する議論を回避する程度のことに思えるので, ここでは不定積分で通した.
No.89944 - 2025/02/11(Tue) 01:18:46
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
この問題を解いていた時の私は
F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのかを考えていました。
(つまり、定数項をCとしてしまっていいのを忘れていました)

アホな質問をしてしまい本当にすみませんでした。
No.89947 - 2025/02/11(Tue) 22:15:24
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast
# 解決済みだと思うので続ける必要も無いとは思うが……

> F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのか
本問で f(x) の原始函数 F(x) を考える場面はないはずだけど, (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数かな? そうだとしたら, (1) で得られた函数は (定積分の区間に関する性質: ∫_[a,a] =0 (∀a) から) G(0)=0 を満たすような (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数 G(x) ですね.
# ここでの G は, f(x) の原始函数ではないという気分を出すために F 以外の文字を使っただけの
# ローカルな記号で深い意味はない (混同とかしないなら F でよい).

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ついでなので
[検算用の別解]:
実変数複素数値函数の積分
　∫ xe^xcos(x)dx + i∫ xe^xsin(x)dx =: ∫ xe^x(cos(x)+isin(x))dx = ∫xe^(x+ix)dx
　= xe^(x+ix)/(1+i) - ∫e^(x+ix)dx/(1+i) = (1-i)xe^(x+ix)/2 - e^(x+ix)((1-i)/2)^2
　= (1-i)xe^x(cos(x)+isin(x))/2 + e^x(cos(x)+isin(x))i/2
　= (xe^x(sin(x)+cos(x))/2-e^xsin(x)/2)+ i(xe^x(sin(x)-cos(x))/2+e^xcos(x)/2)
の虚部を比較 (実部の比較で cos 版の等式も得られる).
# もちろん注意すべきこととして, 複素数値函数の積分が矛盾なく定義できること
# (いまの場合さしあたって複素函数=複素変数複素数値函数に対する一般論までは必要ない),
# 複素数値函数に対する部分積分, 複素数 α に対して (e^(αx))'=αe^(αx) および ∫e^(αx)dx=(1/α)e^(αx)
# など正当化すべきことがいくつもあるし, そもそも高校範囲でもないので, あくまで検算用として.
## とはいうものの変に技巧に凝るよりは素直な計算で求まるこちらのほうが私は好み.
No.89951 - 2025/02/12(Wed) 19:05:16