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記事No.90018に関するスレッドです
★ 今年の千葉大 / 太郎
(4)がわかりません。
よろしくお願いします
No.90018 - 2025/03/06(Thu) 02:02:03
☆ Re: 今年の千葉大 / IT
f(a)-2f((a+b)/2)+f(b)
=-{f((a+b)/2)-f(a)}+{f(b)-f((a+b)/2)}
=-((b-a)/2)f'(α)+((b-a)/2)f'(β) 、a＜α＜(a+b)/2＜β＜bなるα、β がある(平均値の定理)

ここで、さらに平均値の定理を使えばどうですか？
No.90020 - 2025/03/06(Thu) 20:57:11
☆ Re: 今年の千葉大 / _
bを変数xとみて F = 0.5*(f(x)+f(a))*(x-a) - ∫_[a,x]f(t)dt と書くことにします。

L(x) = 0.25*((x-a)^3)*f''(a) - F とする。x>aでL(x)>0になることを示したい。

L'(x), L''(x), L'''(x) を求めると
L'''(x) = f''(a) + 0.5*(f''(a)-f''(x)) - 0.5*(x-a)*f'''(x) となって
問題の仮定からこれはx>aで正と分かる(f''は減少関数であることに注意)。
L''(a)=0よりx>aでL''(x)>0。L'(a)=0よりx>aでL'(x)>0。L(a)=0よりx>aでL(x)>0が分かるので、done.
No.90021 - 2025/03/06(Thu) 21:52:03