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記事No.90035に関するスレッドです
★ 格子点の個数 / たけちゃん
(2)からの考え方がわかりません、お願いします
No.90035 - 2025/03/14(Fri) 14:30:32
☆ Re: 格子点の個数 / X
(2)
x＜y＜k＜x+y (A)
を満たすxy平面での領域の境界線となる
y=x (B)
x+y=k (C)
の交点(Pとします)の座標は
(k/2,k/2)
よって
(i)k=2m-1のとき
P(m-1/2,m-1/2)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-2-2l)
=2(m-1)^2-m(m-1)
=(m-1)(m-2)
((A)を図示したものを描きましょう)

(ii)k=2mのとき
P(m,m)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-1-2l)
=(2m-1)(m-1)-m(m-1)
=(m-1)^2
((A)を図示したものを描きましょう)

まとめて
a[2m-1]=(m-1)(m-2)
a[2m]=(m-1)^2

(3)
(2)の結果を使うと
(与式)=Σ[m=1〜n]a[2m-1]+Σ[m=1〜n]a[2m]
=Σ[m=1〜n](m-1)(m-2)+Σ[m=1〜n](m-1)^2
=Σ[m=1〜n](m-1)(2m-3) (D)
=Σ[k=1〜n-1]k(2k-1) (k=m-1と置いた)
=2・(1/6)(n-1)n(2n-1)-(1/2)n(n-1)
=(1/3)n(n-1)(2n-5/2)
=(1/6)n(n-1)(4n-5)

注)
(D)において、置き換えをせずに直接展開し、
mに対してΣの公式を使っても
計算できます。
(検算してみてください。)
No.90036 - 2025/03/14(Fri) 18:28:40