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記事No.90063に関するスレッドです
★ 数学1a,2b / ゆあ
⑷⑸の解説と答えをお願いします。

⑷は2AP=4sinθとなるところまで分かりましたが、√2BPをどう求めれば良いかわかりません。
No.90063 - 2025/03/27(Thu) 13:53:52
☆ Re: 数学1a,2b / _
APが出せるならBPも同様に出せるはず。

円の中心をOとし、OからBPに垂線OHを下ろす。BP は 2*BH に等しい。
∠OBHは θ-45°(θ≧45°のとき)　または　45°-θ (θ≦45°のとき) だから
BH = OB*cos∠OBH = cos(θ-45°) と書ける(cos(-x)=cos(x)に注意)。

あとは展開して √2*BP = 2cosθ+2sinθ となるので、
2*AP+√2*BP = 2cosθ + 6sinθ 。

(5)は、三角関数の合成でもよし、ベクトル(2,6)と(cosθ,sinθ)の内積とみてもよし。難しくないハズ。
答えは 2√10 かな。
No.90064 - 2025/03/27(Thu) 15:14:29
☆ Re: 数学1a,2b / ヨッシー
∠ＢＰＣ＝90°、∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＣ＝45°
より　∠ＢＰＡ＝45°（一定）です。

(4)
Ｐが直線ＢＣに対して、Ａと反対側にあるとき
正弦定理より
　ＡＰ＝2sin(45°＋θ）＝√2cosθ＋√2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(90°−θ)＝2cosθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝2√2cosθ＋2√2sinθ＋2√2cosθ
　　＝4√2cosθ＋2√2sinθ

Ｐが直線ＢＣに対して、Ａと同じ側にあるとき
正弦定理より
　ＡＰ＝2sin(45°−θ）＝√2cosθ−√2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(90°＋θ)＝2cosθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝2√2cosθ−2√2sinθ＋2√2cosθ
　　＝4√2cosθ−2√2sinθ

(5)
ここで、
　θの範囲を　−45°＜θ＜90°
とすると、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝4√2cosθ＋2√2sinθ
で表現できます。
　4√2cosθ＋2√2sinθ＝2√2(sinθ＋2cosθ)
　　＝2√10sin(θ＋α)　　
cosα＝1/√5、sinα＝2/√5　(αは、60°より少し大きい角度)
よって、θ＝90°−α のとき、最大値 2√10 となります。
No.90065 - 2025/03/27(Thu) 15:23:07
☆ Re: 数学1a,2b / らすかる
BPは直角三角形BCPでcosθ=BP/BC、BC=2なのでBP=2cosθです。
他の解答は既に出ていますので省略します。
No.90066 - 2025/03/27(Thu) 15:27:05
☆ Re: 数学1a,2b / ゆあ
御三方とも返信ありがとうございます！
整理してもう一度考えてみます。
No.90067 - 2025/03/27(Thu) 15:50:13
☆ Re: 数学1a,2b / _
ヨッシーさま　らすかるさま

図によるとθは∠ABPなのでは。(私も最初は∠CBPと見間違いましたが)
No.90068 - 2025/03/27(Thu) 16:07:41
☆ Re: 数学1a,2b / ヨッシー
そうかぁ。
じゃ、こうですかね。

∠ＢＰＣ＝90°、∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＣ＝45°
より　∠ＢＰＡ＝45°（一定）です。

(4)
正弦定理より
　ＡＰ＝2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(135°−θ)＝√2cosθ＋√2sinθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝4sinθ＋2cosθ＋2sinθ
　　＝6sinθ＋2cosθ

(5)
ここで、
　θの範囲は　0°＜θ＜135°
であり、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝6sinθ＋2cosθ
　　＝2√10sin(θ＋α)　　
cosα＝3/√10、sinα＝1/√10
よって、θ＝90°−α のとき、最大値 2√10 となります。
No.90069 - 2025/03/27(Thu) 17:01:42
☆ Re: 数学1a,2b / らすかる
てっきり
θを表す曲線は1本線
45°を表す曲線は2本線
と思い込んでいました。
言われてみてなるほどと思いましたが、これは紛らわしくて図がイマイチですね。
No.90070 - 2025/03/27(Thu) 17:12:32