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記事No.90089に関するスレッドです
★ Σの公式の使い方について / るる
高校2年生の数学Bの問題で和を求める問題です。
解説を読んだのですが分からなかったので質問させていただきます。
よろしくお願いします。
No.90089 - 2025/04/03(Thu) 11:25:43
☆ Re: Σの公式の使い方について / ヨッシー
公式は覚えるものではなく作るもの、という観点に立って作ってみます。

　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^(k-1)＝１＋ｒ＋ｒ^2＋・・・＋ｒ^(n-1)
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
上式から下式を引くと
　Ｓ−ｒＳ＝１−ｒ^n
　Ｓ＝(１−ｒ^n)/(１−ｒ)　　・・・(1)

　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^k＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^(n+1)
上式から下式を引くと
　Ｓ−ｒＳ＝ｒ−ｒ^(n+1)
　Ｓ＝{ｒ−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)　・・・(2)

このように、それぞれ別の公式になることは理解いただいたうえで、
後者を(1) の公式を使って導けないかを考えます。
　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^k＝Σ[k=1〜n+1]ｒ^(k-1)−ｒ^0
と書けるので、(1) の公式を使って、
　Ｓ＝{１−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)−１
　　＝{１−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)−(１−ｒ)/(１−ｒ)
　　＝{ｒ−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)
と (2) と同じ結果になります。
これを代入して解いたと言えるのかは謎です。


(2) の公式に、
　ｒ に 1/3、ｎにｎ−１を代入すると、
　Ｓ＝{1/3−(1/3)^n)}/(１−1/3)
　　＝(1/3){1−(1/3)^(n-1))}/(１−1/3)
となります。

一般の等比数列（初項ａ、公比ｒ）の和　ａ＋ａｒ＋・・・ａｒ^(n-1)
の公式は
　ａ[１−ｒ^(n-1)}/(１−ｒ)
ですので、これに代入したとも言えます。
No.90091 - 2025/04/03(Thu) 15:57:03
☆ Re: Σの公式の使い方について / るる
ありがとうございます🙇‍♀️
No.90100 - 2025/04/04(Fri) 10:41:18