[ 掲示板に戻る ]
記事No.90096に関するスレッドです
★ (No Subject) / 大西
部分積分を用いてもInとIn+1との関係がうまく出せませんでした。
そもそも漸化式を用いて解こうとする自体が間違っているのでしょうか。

何かInを直接計算する方法があるのでしょうか。
No.90096 - 2025/04/03(Thu) 22:41:12
☆ Re: / ast
問題の趣旨にはおそらく合わないでしょうが, ベータ函数に馴染みがあるのならば tan(x)^(1/n) = sin(x)^(1/n) cos(x)^(-1/n) と見る (必要ならば u:=sin(x)^2 などで置換する) ことで当該の積分が
　 I[n] = Β[(1+1/n)/2, (1-1/n)/2)]/2 --(*)
のように書けることは言えると思います.
# よく知られた関係式によってガンマ函数で表せば
#　 (*) = (Γ((1+1/n)/2)Γ(1-(1+1/n)/2)/Γ(1))/2 = (π/sin(π(1+1/n)/2))/2 = π/(2cos(π/(2n)))
# と計算できて極限も I[n] → π/2 と求まりそうです.
## もとの積分において極限と積分が交換可能ならば
## 　∫_[0,π/2] lim_[n→∞]tan[x]^(1/n)dx = ∫_[0,π/2]dx = π/2
## となるはずなので, ↑の計算も合っていそうとは思いますが, 保証するつもりはありません.
No.90102 - 2025/04/04(Fri) 17:48:12
☆ Re: / 大西
astさんご返信ありがとうございます。

Γ(1-s)Γ(s)=π/sinπsという関係式がありましたね。
ベータ関数とガンマ関数を使えば解けるのですね。
でも大学入試問題だそうなので他の方法がありそうです。
No.90105 - 2025/04/04(Fri) 20:18:54
☆ Re: / IT
大学入試問題ではないのでは？　
広義積分もベータ関数・ガンマ関数も高校数学の範囲外だと思います。

できそこないの模試とかでは？
受験勉強なら　しっかりした解答解説付きの参考書・問題集で学習されるのが効率的かと思います。
No.90106 - 2025/04/04(Fri) 20:54:28
☆ Re: / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

大学入試問題だと言われたのですがそうじゃないのかも知れませんね。

受験勉強ではありませんが、興味がある問題に色々とチャレンジしています。
No.90111 - 2025/04/05(Sat) 13:22:38
☆ Re: / 黄桃
本題とは関係ないですが参考までに。

これは架空の大学である信州国際学院大学の国際観光学部令和6年度数学の過去問です
（https://kokushin-u.jp/prospective-student/past-questions/からダウンロードできます）。
ドメイン名が.ac.jp でないことからわかるように、この大学自体が壮大なジョークなので注意が必要です。

数学の過去問は、本問のように、多分数学としては正しいけど、少なくとも日本の大学入試問題としてはジョークと呼べるものが多数見受けられます。
形式は大学入試問題なのに、怪しげであれば、ここの問題でないか確認した方がいいです。
その上で、出典を明記して質問するのは構わないでしょう（ジョークであっても著作権はあるでしょうから）。
No.90126 - 2025/04/08(Tue) 22:38:06