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記事No.90137に関するスレッドです
★ 高校数学(数3) / 314
この問題の答えが(1)=2√3+3/8π, (2)=12, (3)=3/2√3+2πになる理由を詳しく教えてください。
滑らないと書いてあることから、サイクロイドを使うらしいですが、どのように使うのかがわかりませんでした。
No.90137 - 2025/04/13(Sun) 21:01:55
☆ Re: 高校数学(数3) / ヨッシー
最初の状態で、円Ｋと△ＯＡＢのＯＡ上における接点をＱ、ＯＡの中点をＭとします。

(1)
　ＯＱ＝ＯＰ＝√3
であり、また、ＱＭ＝優弧ＰＱ＝(4/3)π
よって　ＯＭ＝√3＋(4/3)π
　ＯＡ＝２ＯＭ＝2√3＋(8/3)π　・・・答え１

(2)
半径１の円によるサイクロイドの式は
　ｘ＝θ−sinθ、ｙ＝１−cosθ
これの、θ＝2π/3 から θ＝2π までの長さを求めます。

　Ｌ＝∫[2π/3〜2π]√{（１−cosθ)^2＋sin^2θ}dθ
　　＝∫[2π/3〜2π]√(２−２cosθ)dθ
１−cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　Ｌ＝∫[2π/3〜2π]√(4sin^2(θ/2))dθ
　　＝２∫[2π/3〜2π]|sin(θ/2)|dθ
2π/3≦θ≦2π のとき、2π/6≦θ≦π であるので、sin(θ/2)≧0
よって、
　Ｌ＝２∫[2π/3〜2π]sin(θ/2)dθ
　　＝２[−2cos(θ/2)][2π/3〜2π]
　　＝４(１＋1/2）＝６
求める長さはこれの２倍なので、
　６×２＝１２　・・・答え２

(3)
サイクロイド
　ｘ＝θ−sinθ、ｙ＝１−cosθ
において、点Ｐに当たる点の座標は(2π/3−√3/2, 3/2)、
点ＭＭに当たる点の座標は（2π, 0) です。
求める面積は
　Ｓ＝∫[2π/3−√3/2〜2π]ｙdx
これに、面積 3√3/8 の直角三角形を加えたものです。
。これをθの積分に置換すると、
積分範囲は　2π/3−√3/2≦ｘ≦2π　→　2π/3≦θ≦2π
　dx/dθ＝1−cosθ
より　
　dx＝(1−cosθ)dθ
これらより
　Ｓ＝∫[2π/3〜2π](１−cosθ)(1−cosθ)dθ
　　＝∫[2π/3〜2π](１−２cosθ＋cos^2θ)dθ
cos^2θ＝(1＋cos2θ)/2 より
　Ｓ＝∫[2π/3〜2π]{１−２cosθ＋(1＋cos2θ)/2}dθ
　　＝∫[2π/3〜2π]{3/2−２cosθ＋(cos2θ)/2}dθ
　　＝[3θ/2−2sinθ＋(sin2θ)/4][2π/3〜2π]
　　＝3π−π＋√3＋√3/8
　　＝2π＋9√3/8
よって、求める面積は
　2π＋9√3/8＋3√3/8＝2π＋3√3/2
No.90138 - 2025/04/14(Mon) 12:03:00
☆ Re: 高校数学(数3) / 314
ありがとうございます。
No.90142 - 2025/04/15(Tue) 15:11:42