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記事No.90163に関するスレッドです
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90163 - 2025/04/19(Sat) 18:51:15
☆ Re: 微分 / X
(1)
条件のとき
f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-9/2
f"(x)=-sinx+2(sinx)/(cosx)^3
=-sinx{1-2/(cosx)^3}
=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3
ここで
0＜x＜π/2 (A)
∴f"(x)＞0
更に
f(0)=-5/2＜0
lim[x→π/2-0]f(x)=∞
∴中間値の定理により(A)において
f(x)は極小値をただ一つ持ちます。
ここでf'(x)=0のとき
cosx+1/(cosx)^2-9/2=0
2(cosx)^3-9(cosx)^2+2=0
(2cosx-1){(cosx)^2-4cosx-2}=0
(2cosx-1)(cosx-2+√6)(cosx-2-√6)=0
(A)より＜cosx＜1ゆえcosx=1/2
∴x=π/3
∴f(x)は
x=π/3のときに極小値(3/2)√3-3π/2
を取ります。

(2)
条件のとき
g'(x)=cosx+1/(cosx)^2-α
g"(x)=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3＞0
ここでαの値によらず
lim[x→π/2-0]g'(x)=∞
∴題意を満たすためには
g'(0)=2-α＜0
∴2＜α
No.90164 - 2025/04/19(Sat) 19:30:04
☆ Re: 微分 / Higashino
ご回答ありがとうございました
以下私の答案になります
何卒よろしくお願いします
No.90176 - 2025/04/21(Mon) 16:06:50