[ 掲示板に戻る ]
記事No.90173に関するスレッドです
★ 平面の方程式について / ブレジョン1
写真の赤線部についてですが、
確かに図11.19のようにd=n|OH|と表されるのはわかるのですが、OHの長さはP0の取り方で変わる、つまり同時にdの値もP0によって変わると思うのですが、なぜdはP0に依らない定数であるということが言えるのでしょうか？
No.90173 - 2025/04/21(Mon) 12:11:09
☆ Re: 平面の方程式について / _
ここで扱っている平面をαとします。
また,原点を通りベクトルｎを方向ベクトルとする直線をLとします。

図11.19で, Hは『平面α と 直線L の交点』になります。
(これは『原点Oから平面αに下した垂線の足』と言い換えてもよい。)
つまり,平面αが与えられればその時点で点Hは自動的に定まり,よってそれは
P_0の取り方に依りません。


なお蛇足かもしれませんが…
コピーの本では

　(P_0から)原点を通り法線ベクトルの方向の直線(つまり直線L)に下した垂線の足をH

と書いています。
このHを作図するには,

　P_0を通りベクトルｎに垂直な平面 と 直線L の交点

をとればよいわけですが,
この「P_0を通りベクトルｎに垂直な平面」とは,平面αそのものです(そもそもP_0は平面α上の点でした)。
なのでHは平面αと直線Lの交点になるわけです。
No.90174 - 2025/04/21(Mon) 15:41:46
☆ Re: 平面の方程式について / ヨッシー
例えば、点Ｐ0(1,2,3) を通り、ベクトル(2,3,4) に垂直な平面を考えます。
この平面上の任意の点(x,y,z) に置いて、
　2(x-1)＋3(y-2)＋4(z-3)＝0
が成り立ち、
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄ＝２０ です。
一方、別の点 (6,4,-1) も、この平面を通るので、
　2(x-6)＋3(y-4)＋4(z+1)＝0
であり、展開すると、やはり
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄは変わりません。
点Ｐ0 として選ばれる点は、
　2x＋3y＋4z＝20
を満たすので、どう変形しても 2x＋3y＋4z＝20 に戻ってきます。

とりあえず、
>dの値もP0によって変わる
は、そんなことないよ、ということを示してみました。

なお、Ｈは原点から平面におろした垂線の足なので、
>OHの長さはP0の取り方で変わる
これも違います。Ｐ0 が動いても、Ｈはじっとしています。
No.90175 - 2025/04/21(Mon) 15:49:43