何卒よろしくお願いします
以下問題
![]() |
No.90202 - 2025/04/30(Wed) 03:49:25
| ☆ Re: 微分 / X | | | a^3+b^3=2 (A)
とします。
(1)
(A)の両辺をaで微分すると
3a^2+(3b^2)b'=0
∴b'=-(a/b)^2(＜0) (B)
更にaで微分すると
b"=-(2ab^2-(a^2)・2bb')/b^4
=-(2ab^2+(a^4)・2/b)/b^4＜0
よって、横軸にa,縦軸にbを取った
(A)のグラフ(但し、a＞0,b＞0 (P))の形状は
点(2^(1/3),0),(0,2^(1/3))
を両端とする、単位円の第１象限での形状
(但し両端の点は含まず)
となります。
但し
lim[a→+0]b'=0
lim[a→2^(1/3)-0]b'=∞
に注意します。
よって
a+b=k (C)
と置いて、上記の(A)のグラフに
直線(C)を書き込んで、共有点が
存在するkの値の範囲を求めると
2^(1/3)＜k≦K
(Kは(A)に接するときのkの値)
ここで(B)(C)よりKについて
a+b=K (D)
-(a/b)^2=-1 (E)
(A)(D)(E)(P)をa,b,Kについての
連立方程式として解くと
(a,b,K)=(1,1,2)
∴2^(1/3)＜a+b≦2
(2)
(P)から
a=rcosθ (F)
b=rsinθ (G)
(r＞0、0＜θ＜π/2 (H))
と置くことができ、
a^2+b^2=r^2 (I)
(F)(G)を(A)に代入すると
r^3=2/{(cosθ)^3+(sinθ)^3} (A)'
ここで
f(θ)=(cosθ)^3+(sinθ)^3
と置くと
f'(θ)={3(cosθ)^2}sinθ+{3(sinθ)^2}cosθ
=(3√2)sin(θ-π/4)sinθcosθ
∴(I)におけるf(θ)の増減表により
1/√2≦f(θ)＜1
∴(A)'より
2＜r^3≦2√2
∴2^(2/3)＜r^2≦2
なので(I)より
2^(2/3)＜a^2+b^2≦2
∴a^2+b^2の最大値は2
(このときθ=π/4ゆえa=b=1)
|
No.90203 - 2025/04/30(Wed) 19:09:42 |
|
