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記事No.90221に関するスレッドです
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90221 - 2025/05/06(Tue) 08:15:19
☆ Re: 微分 / X
x≧0 (A)
y≧0 (B)
x+y=a (C)
とします。

(C)より
y=a-x (C)'
(C)'を(B)に代入して
a-x≧0 (C)"
条件よりa＞0に注意すると
(C)"と(A)より
0≦x≦a (A)'
一方、(C)'から
e^(-x)+e^(-5y)=e^(-x)+e^(5x-5a)
これをf(x)と置いて、(A)'における
増減を調べます。

f'(x)=-e^(-x)+5e^(5x-5a)
={5e^(6x-5a)-1}/e^x
∴f'(x)=0のとき
x=5a/6-(1/6)log5

よって
(i)5a/6-(1/6)log5≦0、つまり0＜a≦(1/5)log5のとき
(A)'においてf'(x)≧0ゆえ
f(x)の最小値はf(0)=1+1/e^(5a)
(このとき(x,y)=(0,a))

(ii)0＜5a/6-(1/6)log5≦a、つまり(1/5)log5＜aのとき
(A)'におけるf(x)の増減表により、最小値は
f(5a/6-(1/6)log5)={5^(1/6)+1/5^(5/6)}/e^(5a/6)
=6/(5e^a)^(5/6)
(このとき
(x,y)=(5a/6-(1/6)log5,a/6+(1/6)log5))

(iii)a＜5a/6-(1/6)log5のとき
このようなaの値は存在しないので不適。

以上から求める最小値は

0＜a≦(1/5)log5のとき
1+1/e^(5a)(このとき(x,y)=(0,a))

(1/5)log5＜aのとき
6/(5e^a)^(5/6)
(このとき、(x,y)=(5a/6-(1/6)log5,a/6+(1/6)log5))
No.90222 - 2025/05/06(Tue) 14:30:38
☆ Re: 微分 / Higashino
先生
今日は
ご回答ありがとうございます
私は次のように考えたのですが
ご指摘ご指導いただけると幸いです
No.90223 - 2025/05/07(Wed) 13:34:53
☆ Re: 微分 / X
私の回答にある(C)"、つまり
x≦a
であることを考慮していないので
解答としては△です。
No.90224 - 2025/05/07(Wed) 17:58:12
☆ Re: 微分 / Higashino
確かにそうですね
ご指摘ありがとうございました
No.90225 - 2025/05/07(Wed) 19:37:37