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記事No.90226に関するスレッドです
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90226 - 2025/05/07(Wed) 19:38:39
☆ Re: 微分 / X
(1)
y/x=t
と置くと
y=tx (A)
xy平面上にSと直線(A)を描くことにより
0≦t≦T (B)
(但し、Tは(A)が曲線y=logx(1≦x) (C)
と接するときのlの値)
ここで(C)より
y'=1/x
∴(C)上の点(X,logX)における接線の方程式は
y=(1/X)(x-X)+logX
これが原点を通るので
-1+logX=0
∴X=e
∴T=1/eゆえ(B)より
0≦y/x≦1/e

(2)
(x+y)/2≧k√(xy) (D)
とします。
(i)y=0のとき
(D)は任意のkの値に対し、成立。
(ii)y≠0のとき
(1)のtを使うと
0＜t≦1/e (E)
であり、(D)は
(√t+1/√t)/2≧k (D)'
と同値
ここで
f(t)=(√t+1/√t)/2
と置くと
f'(t)={1/√t-1/t^(3/2)}/4
=(t-1)/{4t^(3/2)}
∴(D)の範囲でf(t)の増減表を書くことにより
f(t)はt=1/eのときに
最小値(e+1)/(2√e)
を取るので
求めるkの最大値は(e+1)/(2√e)
又、問題の等号が成立するとき、
(1)の過程により
(x,y)=(X,logX)=(e,1)



(i)(ii)より
求めるkの最大値は(e+1)/(2√e)
又、問題の等号が成立するとき、
(x,y)=(e,1)
No.90227 - 2025/05/07(Wed) 22:34:59
☆ Re: 微分 / Higashino
先生
早速のご回答ありがとうございます
先生とは括弧一番
の考え方が異なります
ご指摘アドバイスほどよろしくお願いします
No.90228 - 2025/05/08(Thu) 01:10:24
☆ Re: 微分 / X
(2)は問題ないようですが、(1)について。
l/e^lは分母分子共にlに関して単調増加
ですので、微分して増減を評価しないと
だめです。

又、かなり手の込んだ変形をしていますが
以下のように変形すれば多少簡素化されます。

y/x=k
と置いて
logx≧y≧0
からyを消去すると
logx≧kx≧0 (P)
ここでx≧1＞0ゆえ(P)の各辺を
不等号の向きを変えずにxで
割ることができて
(logx)/x≧k≧0 (Q)

後は
f(x)=(logx)/x
と置いてx≧1におけるf(x)の
増減を調べます。
No.90231 - 2025/05/08(Thu) 18:00:34
☆ Re: 微分 / Higashino
アドバイスご指摘ありがとうございました
No.90235 - 2025/05/09(Fri) 05:59:43