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記事No.90234に関するスレッドです
★
微分
/ Higashino
引用
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90234 - 2025/05/09(Fri) 05:57:58
☆
Re: 微分
/ X
引用
ニュートン法ですね。
(1)
f'(x)=2x
∴点(x[n],f(x[n]))における曲線y=f(x)
の接線の方程式は
y=2x[n](x-x[n])+x[n]^2-2
整理して
y=2x[n]x-x[n]^2-2
条件より、これが点(x[n+1],0)を通るので
0=2x[n]x[n+1]-x[n]^2-2
∴x[n+1]=x[n]/2+1/x[n] (A)
(2)
x[n]＞√2 (B)
とします。
(i)n=1のとき
x[1]に対する条件より(B)は成立
(ii)n=kのとき(B)の成立を仮定します。
つまり
x[k]＞√2 (B)'
ここで(A)と相加平均と相乗平均の関係から
x[k+1]=x[k]/2+1/x[k]≧2√{(x[k]/2)(1/x[k])}=√2
ここで不等号の下の等号は
x[k]/2=1/x[k]
のときに成立するが、(B)'によりこれを満たす
x[k]は存在しないので
x[k+1]＞√2
∴(B)はn=k+1のときも成立。
(i)(ii)から数学的帰納法により(B)は成立します。
(3)
(A)より
x[n+1]-√2=x[n]/2+1/x[n]-√2={(x[n]-√2)^2}/(2x[n]) (A)'
ここで(B)より
(x[n]-√2)-{(x[n]-√2)^2}/x[n]=(x[n]-√2){1-(x[n]-√2)/x[n]}
=(x[n]-√2)(√2)/x[n]＞0 (C)
(A)'(C)より
x[n+1]-√2＜(1/2)(x[n]-√2)
∴x[n]-√2＜(x[1]-√2)(1/2)^(n-1) (D)
(D)と(B)より
√2＜x[n]＜(x[1]-√2)(1/2)^(n-1)+√2 (E)
となるので、(E)においてn→∞を考えると、はさみうちの原理により
lim[n→∞]x[n]=√2
No.90237 - 2025/05/09(Fri) 17:49:50
☆
Re: 微分
/ Higashino
引用
何卒よろしくお願いします
No.90239 - 2025/05/10(Sat) 04:52:40
☆
Re: 微分
/ Higashino
引用
何卒よろしくお願いします
No.90241 - 2025/05/10(Sat) 04:58:50
