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記事No.90313に関するスレッドです
★ 漸化式 / ドンキーコング
次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。
a1=2,an=an-1 +n(n+1) n=2,3,4…


次のように解きましたが違うようです。どうして違うのか教えて下さい。
No.90311 - 2025/06/02(Mon) 13:15:01
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
解答の３行目の式に、ｎ＝２ を入れてみると、
　a[2]＝a[1]＋２
ですが、漸化式
　a[n]=a[n-1]+n(n+1)
にｎ＝２を入れると
　a[2]＝a[1]＋６
であり、この３行目からして誤りであることがわかります。

普通の漸化式は
　a[n+1]＝a[n]＋b[n]
の式で書かれているのを前提に
　a[n]＝a[1]＋Σb[n]
が言えるのですが、この問題は
　a[n]＝a[n-1]＋・・・
の形なので、少し変形が必要です。
No.90312 - 2025/06/02(Mon) 13:26:16
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
図が消えてたので、載せておきます。
No.90313 - 2025/06/02(Mon) 13:28:15
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

これも違ってるみたいなんですが、どこがいけないのですか？
No.90314 - 2025/06/02(Mon) 13:45:38
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
6n だけ２で割られていませんね。
原因は、項をまとめることと、約分することを同時にしたためです。
No.90315 - 2025/06/02(Mon) 14:10:06
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

初歩的なミスでした。
解決できました。

もう一つ質問ですが、漸化式でnをn+1に置き換えて解きましたが、これって大丈夫な操作なんですか？
No.90316 - 2025/06/02(Mon) 15:04:32
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
a[1]=2, a[n]=a[n-1]+n(n+1) n=2,3,4…
と
a[1]=2, a[n+1]=a[n]+(n+1)(n+2) n=1,2,3…
は同じものです。

ｎの範囲が違っていることに注意すると、上の疑問は解決するでしょう。
No.90317 - 2025/06/02(Mon) 17:03:16
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
なるほど。そうゆうことですか。
理解できました。
ありがとうございました。
No.90318 - 2025/06/02(Mon) 21:50:16